由于8次多項式有9個系數，其中8次的系數一定為一，所以它的全體為2?個，即256個，0~255。8次可約的多項式全體B為B1,B2,B3,B4的并集。其中B1為1次多項式與7次多項式的乘積，B2為2次多項式與6次多項式的乘積，B3為3次多項式與5次多項式的乘積，B4為4次多項式與4次多項式的乘積。全集S-B=A，此時A為8次不可約多項式的全體。（S，A，B）均為集合。

為求出8次不可約多項式全體S，需要求得8次多項式全集與8次可約多項式全集，并將它們做差，求得8次不可約多項式全體。建立數學模型的基本步驟如下：

第一步：構造8次多項式全集

算法一：8次多項式中的系數為1，其他項系數任意，則系數矩陣為100000000~111111111，觀察系數矩陣的變化規律：第一列全為1；第二列平均分為兩份，上面全為0，下面全為1；第三列平均分為四份，前0~1/4，2/4~3/3全為0，1/4~2/4，3/4~最后全為1……以此類推：第1行全為1，以后每一行行數減1模（n表示第n列）得到的數字若大于列數/，此處系數置為1，反之為0。

eg：4次多項式的系數如下所示（二元域）

1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1

算法二：因為系數開始為100000000B，并且每次加1，直到111111111B。想要得到S，可以將系數拆分為9個數字。最終成為系數矩陣。

第二步：構造8次可約多項式的全

1，2，3，4，5，6，7次多項式的構造與8次多項式的構造一致。B4集由2個4次多項式矩陣相乘求得，1個4次多項式矩陣為16行5列，兩個矩陣相乘將得到256種結果。假設其中系數為10010與系數為11101的多項式相乘。它們下標之和為2~10，相乘得到8次多項式，所以相乘后系數矩陣應為9位，下標為1~9?？梢员硎緸閗-1。如果下標之和為k,那么它們的系數之和是k-2次多項式的系數。最終得到B4，將B4模2即可得到0，二元域上的多項式。B1，B2，B3集合與B4求法一致。

第三步：做差

調用union（matlab）函數求得B1，B2，B3，B4的并集B，調用setdiff函數求全集S與B的差集A，A就是8次不可約多項式的系數。

%8次不可約多項式的尋找 B1=zeros(256,9); B11=zeros(2,2); B17=zeros(128,8); B2=zeros(256,9); B22=zeros(4,3); B26=zeros(64,7); B3=zeros(256,9); B33=zeros(8,4); B35=zeros(32,6); B4=zeros(256,9); B414=zeros(16,5); B424=zeros(16,5);S=zeros(256,9);%8次不可約多項式的全體S系數矩陣的構造 s1=size(S,1); s2=size(S,2);for i=1:s1for j=1:s2if(j==1)S(i,j)=1;endif(j>=2)n=j-2;p=2^n;h=mod((i-1),s1/p);if(h>=(s1/(p*2)))S(i,n+2)=1;elseS(i,n+2)=0;endendend end%1次多項式B11 系數矩陣的構造 s1=size(B11,1); s2=size(B11,2);for i=1:s1for j=1:s2if(j==1)B11(i,j)=1;endif(j>=2)n=j-2;p=2^n;h=mod((i-1),s1/p);if(h>=(s1/(p*2)))B11(i,n+2)=1;elseB11(i,n+2)=0;endendend end%7次多項式B17 系數矩陣的構造 s1=size(B17,1); s2=size(B17,2);for i=1:s1for j=1:s2if(j==1)B17(i,j)=1;endif(j>=2)n=j-2;p=2^n;h=mod((i-1),s1/p);if(h>=(s1/(p*2)))B17(i,n+2)=1;elseB17(i,n+2)=0;endendend end%2次多項式B22 系數矩陣的構造 s1=size(B22,1); s2=size(B22,2);for i=1:s1for j=1:s2if(j==1)B22(i,j)=1;endif(j>=2)n=j-2;p=2^n;h=mod((i-1),s1/p);if(h>=(s1/(p*2)))B22(i,n+2)=1;elseB22(i,n+2)=0;endendend end%6次多項式B26 系數矩陣的構造 s1=size(B26,1); s2=size(B26,2);for i=1:s1for j=1:s2if(j==1)B26(i,j)=1;endif(j>=2)n=j-2;p=2^n;h=mod((i-1),s1/p);if(h>=(s1/(p*2)))B26(i,n+2)=1;elseB26(i,n+2)=0;endendend end%3次多項式B33 系數矩陣的構造 s1=size(B33,1); s2=size(B33,2);for i=1:s1for j=1:s2if(j==1)B33(i,j)=1;endif(j>=2)n=j-2;p=2^n;h=mod((i-1),s1/p);if(h>=(s1/(p*2)))B33(i,n+2)=1;elseB33(i,n+2)=0;endendend end%5次多項式B35 系數矩陣的構造 s1=size(B35,1); s2=size(B35,2);for i=1:s1for j=1:s2if(j==1)B35(i,j)=1;endif(j>=2)n=j-2;p=2^n;h=mod((i-1),s1/p);if(h>=(s1/(p*2)))B35(i,n+2)=1;elseB35(i,n+2)=0;endendend end%4次多項式B414 系數矩陣的構造 s1=size(B414,1); s2=size(B414,2);for i=1:s1for j=1:s2if(j==1)B414(i,j)=1;endif(j>=2)n=j-2;p=2^n;h=mod((i-1),s1/p);if(h>=(s1/(p*2)))B414(i,n+2)=1;elseB414(i,n+2)=0;endendend end%4次多項式B424 系數矩陣的構造 s1=size(B424,1); s2=size(B424,2);for i=1:s1for j=1:s2if(j==1)B424(i,j)=1;endif(j>=2)n=j-2;p=2^n;h=mod((i-1),s1/p);if(h>=(s1/(p*2)))B424(i,n+2)=1;elseB424(i,n+2)=0;endendend end%B4矩陣的構造 兩個4次多項式相乘 m=size(B414,1); n=size(B424,1); p=size(B414,2); q=size(B424,2);sum=0; for i1=1:mfor i2=1:nh=zeros(1,9);w=0;sum=sum+1;for j1=1:pfor j2=1:qk=j1+j2;w=B414(i1,j1)*B424(i2,j2);h(1,k-1)=h(1,k-1)+w;endendh(1,:)=mod(h(1,:),2);B4(sum,:)=h;end end%B3矩陣的構造 3次多項式與5次多項式相乘 m=size(B33,1); n=size(B35,1); p=size(B33,2); q=size(B35,2);sum=0; for i1=1:mfor i2=1:nh=zeros(1,9);w=0;sum=sum+1;for j1=1:pfor j2=1:qk=j1+j2;w=B33(i1,j1)*B35(i2,j2);h(1,k-1)=h(1,k-1)+w;endendh(1,:)=mod(h(1,:),2);B3(sum,:)=h;end end%B2矩陣的構造 2次多項式與6次多項式相乘 m=size(B22,1); n=size(B26,1); p=size(B22,2); q=size(B26,2);sum=0; for i1=1:mfor i2=1:nh=zeros(1,9);w=0;sum=sum+1;for j1=1:pfor j2=1:qk=j1+j2;w=B22(i1,j1)*B26(i2,j2);h(1,k-1)=h(1,k-1)+w;endendh(1,:)=mod(h(1,:),2);B2(sum,:)=h;end end%B1矩陣的構造 1次多項式與7次多項式相乘 m=size(B11,1); n=size(B17,1); p=size(B11,2); q=size(B17,2);sum=0; for i1=1:mfor i2=1:nh=zeros(1,9);w=0;sum=sum+1;for j1=1:pfor j2=1:qk=j1+j2;w=B11(i1,j1)*B17(i2,j2);h(1,k-1)=h(1,k-1)+w;endendh(1,:)=mod(h(1,:),2);B1(sum,:)=h;end end%求8次可約多項式的并集 [B12,IA1,IB1] = union(B1,B2,'rows'); [B34,IA2,IB2] = union(B3,B4,'rows'); [B,IA3,IB3] = union(B12,B34,'rows'); %8次多項式全體與8次可約多項式求差集得到8次不可約多項式 [A,ia]=setdiff(S,B,'rows'); A = unique (A,'rows');

總結

以上是生活随笔為你收集整理的在（0，1）二元域上寻找8次不可约多项式的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。