這一關我們上樓梯玩。。。

階梯博弈是這樣一個模型：有一個n層的臺階，每個臺階上都放有一定數量的石子。每次每個玩家可以選取某一層上任意數量的石子移動到下一層，不能操作的人輸。

嗯這個問題看起來很復雜？我們先考慮簡單的，顯然石子在第一層推下去的話相當于是沒有了。那么我們假設所有的石子都在第一層，那這是一個先手必勝態。如果石子都在第二層呢？可以這樣考慮，先手每次把多少石頭推到第一層，后手就把先手推下來的石頭推下去，那這就是一個先手必敗態

那我們就會發現一個問題啦，偶數層的樓梯算是一個中轉，用來維護奇數層石子數量不變。只有奇數層的石子個數會對勝負產生影響，當前玩家沒有必要維護偶數層的狀態。因為有偶數層作為中轉，所以先手和后手都可以維護奇數層數目不變，即維護自己的必勝態。只考慮奇數層求出SG值即可。

1、

[HDU5996] dingyeye loves stone

題解：

這就是最簡單的模型轉換啦，因為每次只能把當前節點的石子移動到它的父節點上，這和臺階的模型是類似的。注意臺階的第一層還能往下推一次，但這里推到根節點就已經GG了，所以根節點相當于偶數層（因為作用在這一層上也沒什么用嘛）

代碼：

#include <cstdio> #include <cstring> using namespace std; const int N=100005; int tot,nxt[N],point[N],v[N],k,a[N]; void addline(int x,int y){++tot; nxt[tot]=point[x]; point[x]=tot; v[tot]=y;} void dfs(int x,int D) {if (D) k^=a[x];for (int i=point[x];i;i=nxt[i]) dfs(v[i],!D); } int main() {int T,n,x;scanf("%d",&T);while (T--){k=0; tot=0; memset(point,0,sizeof(point));scanf("%d",&n);for (int i=2;i<=n;i++){scanf("%d",&x);x++;addline(x,i);}for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);dfs(1,0);if (!k) printf("lose\n");else printf("win\n");} }

2、

[HDU4315] Climbing the Hill

題解：

我們只需要將中間的空格看成石子就可以解決這個問題，將編號為奇數的堆看成一個一個的區間，如果某一個人移動了區間的左端點，那么下一個人就可以模仿它移動區間的右端點相同的距離，這樣區間的長度沒變，先手后手的順序也沒變。那么我們就可以說，只有區間的長度是有用的因素，與區間的位置無關。如果某一個人移動了區間的右端點，就相當于是從石子堆中取出了一些。
最后堆在一坨的自然是沒用了，這樣就等效成一個“最后一個區間是第一層”的階梯問題
所以我們的目標狀態只是將所有的區間挪成空區間，沒有必要管區間的位置在哪里。并且，當所有的區間都是空區間了之后，再將它移動到山頂時，先手后手的順序還是沒有變化。
這個問題還要特別考慮一下國王，還要分類討論一下：顯然如果k=1的話先手必勝；k=2且第一個區間對這個問題有影響的時候（人數為奇數） ，先手后手都不希望把第一堆弄成0，因為這樣對手就會獲勝，所以第一堆的取值相當于少了一個， SG1??

代碼：

#include <cstdio> using namespace std; int a[1005],n,k; int main() {while (~scanf("%d%d",&n,&k)){int ww=0;for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);if (k==1) {printf("Alice\n");continue;}a[0]=-1;if (k==2 && n%2) a[0]=0;for (int i=n;i>=1;i-=2) ww^=a[i]-a[i-1]-1;if (!ww) printf("Bob\n");else printf("Alice\n");} }

3、

[HDU3389] Game

題解：

隨便打幾個表就可以看出所有的數推到1,3,4就推不下去了，其實題目也已經告訴我們了，那兩個柿子相當于告訴我們 (A+B)?%?6=3 ，推到134就是玩完了，不難發現那些%6=025的經過奇數次就可以達到畫不動的地步，但是%6=134的一定經過偶數次推不動了，我們的奇數層找到了？

代碼：

#include <cstdio> using namespace std; int a[10005]; int main() {int T,id=0,n;scanf("%d",&T);while (T--){int k=0;scanf("%d",&n);for (int i=1;i<=n;i++) {scanf("%d",&a[i]);if (i%6==0 || i%6==2 || i%6==5) k^=a[i];}if (k) printf("Case %d: Alice\n",++id);else printf("Case %d: Bob\n",++id);} }

4、

[BZOJ1115] [POI2009] 石子游戲Kam

題解：

我們可以通過模仿前面的行動來維持兩堆石子的差不變，并且發現我們取走前一個一部分石子，后面取的范圍會更大，而且我們取走多少后面就能增加多少范圍，總量不變！這是不是就像把前面的石子推到了后面？

那么后一堆-前一堆石子的數量就是我們等價的數量了，最后一堆只要在范圍內，隨意減少都可以，【第一層推到最下面】

題目實際上就變為了從當前堆可以拿出一些石子放到下一堆里去，最后一堆可以直接往下推。典型階梯問題get？

代碼：

#include <cstdio> using namespace std; int a[1005],b[1005]; int main() {int T,n;scanf("%d",&T);while (T--){int k=0;scanf("%d",&n);for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);for (int i=1;i<=n;i++) b[i]=a[i]-a[i-1];for (int i=n;i>=1;i-=2) k^=b[i];if (k) printf("TAK\n");else printf("NIE\n");} }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的博弈问题总集第三类----Staircase Nim的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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