本篇內容，函數的單調性、對稱性、奇偶性、周期性。

單調性

設區間D
單調遞增： 對任意的x₁，x₂∈D，當x₁<x₂恒有f(x₁)<f(x₂)
單調遞減： 對任意的x₁，x₂∈D，當x₁<x₂恒有f(x₁)>f(x₂)

對稱性

軸對稱

f(x)關于x=x_a軸對稱的含義：若(x₁+x₂)/2=x_a (x_a為常數)，則f(x₁)=f(x₂)

比如f(1+x)=f(-2-x)，(1+x)+(-2-x)=-1,所以f(x)關于x=-(1/2)對稱

中心對稱

f(x)關于(a,b )中心對稱的含義：若(x₁+x₂)/2=a ，則[f(x₁)+f(x₂)]/2=b

奇偶性

奇函數

奇函數的性質

定義域關于原點對稱

f(x)+f(-x)=0 <=> f(-x)=-f(x)

關于(0,0)對稱

奇函數f(0)不一定存在，如果f(0)存在，f(0)=0

偶函數

偶函數的性質

定義域關于原點對稱

f(-x)-f(x)=0 <=> f(-x)=f(x)

關于x=0對稱

敲黑板：只有奇次冪的函數是奇函數，只有偶次冪的函數是偶函數，任意函數都可以拆分為一個奇函數和一個偶函數的和
證明：
例題
證明f(x)=x+x²為一個奇函數和一個偶函數之和

不僅非奇非偶函數可以拆分為一個奇函數和一個偶函數之和，奇函數（或偶函數）也可以如此拆分，結果一部分為奇函數（或偶函數）另一部分為0

周期性

f(x)以T為周期的性質

f(x+T)=f(x)

f(x-T)=f(x)

T為周期，2T、3T…nT都是周期

周期性的數學描述
若x₁-x₂=T，則f(x₁)=f(x₂)<=>以T為周期

f(x)以t為反周期的性質
emmm“反周期”這個名字引用了永樂大帝的自制概念，實際上是沒有這個東西的，具體是什么東西往下看吧。

f(x+t)=-f(x)

f(x-t)=-f(x)

T=2t
到這應該知道t是個什么了，愛怎么叫都行，我就叫他反周期（有時候也叫小周期 doge）
反周期的數學描述
若x₁-x₂=t，則f(x₁)=-f(x₂)<=>以t為反周期

小結

辨識下列函數分別代表什么性質？
①f(1+x)+f(1-x)=0
②f(1+x)-f(1-x)=0
③f(x+1)+f(x-1)=0
④f(x+1)-f(x-1)=0

解析：
①(1+x)+(1-x)=2,對稱性，f(1+x)+f(1-x)=0,和為常數，點對稱，f(x)關于(1,0)點對稱
②(1+x)+(1-x)=2,對稱性，f(1+x)-f(1-x)=0，差為常數，或f(1+x)=f(1-x)，函數值相等，軸對稱，f(x)關于x=1軸對稱
③(x+1)-(x-1)=2,周期性，f(x+1)=-f(x-1)，反周期t=2，周期T=4
④(x+1)-(x-1)=2,周期性，f(x+1)=f(x-1)，周期T=2
敲黑板 干貨來了
對稱、周期、奇偶之間的關系，上圖

我把這個圖叫三角關系圖，還是兩個三角關系，圖中共有6個關系,刺不刺激？好了上解釋。
以左邊為例，如果已知一個函數為奇函數，反周期為2a，則其對稱軸為x=a；如果已知一個函數為奇函數，對稱軸為x=a，則反周期為2a；如果一個函數有對稱軸x=a，反周期為2a可得次函數為奇函數。

舉其中一個關系的例子證明，已知函數f(x)為偶函數，且f(x)關于x=a軸對稱，證明T=2a
∵f(x)關于x=a對稱
∴f(x)=f(2a-x)
∵f(x)為偶函數
∴f(2a-x)=f(x-2a)
得 f(x)=f(x-2a)

總結

本篇內容為函數的對稱性、奇偶性和周期性，先說奇偶性，后面兩個對照理解

• 奇偶性：首先無論奇偶，定義域關于原點對稱，偶函數有f(x)-f(-x)=0，奇函數有f(x)+f(-x)=0，奇函數還有一條，不一定在x=0處有定義，比如反比例函數f(x)=1/x就是奇函數，但在x=0處沒有定義，但是如果奇函數f(x)在x=0處有定義，則f(0)=0
• 對稱性和周期性：判斷對稱性和周期性，首先看自變量的關系，然后看函數值的關系。若自變量和為常數即為對稱性，函數值和為常數——點對稱；函數值相等——軸對稱。若自變量差為常數，即為周期性，函數值相等為周期，函數值相反為反周期。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的函数的奇偶性、周期性和单调性的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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