根軌跡法 | 根軌跡方程 | 繪制根軌跡 | 動(dòng)態(tài)性能分析 | 主導(dǎo)極點(diǎn)

根軌跡法

分析和設(shè)計(jì)線性定常控制系統(tǒng)的一種圖解方法（即用非解析的手段來解決高階問題）

根軌跡：簡稱根跡，是開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)從零變到無窮時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根在

平面上變化的軌跡；

根軌跡方程

由于開環(huán)零、極點(diǎn)是已知的，建立開環(huán)零、極點(diǎn)與閉環(huán)零、極點(diǎn)之間的關(guān)系，有助于閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡的繪制，并由此導(dǎo)出根軌跡方程

為開環(huán)極點(diǎn) 為開環(huán)零點(diǎn) 為開環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益

根軌跡方程實(shí)際上是一個(gè)向量方程，可用以下兩個(gè)方程描述，其中相方程是決定根軌跡的充分必要條件

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繪制根軌跡的基本法則

1）根軌跡的分支數(shù)

階系統(tǒng)有 條根軌跡

2）對稱性

根軌跡對稱于實(shí)軸

3）根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)，終止于開環(huán)零點(diǎn)或無窮遠(yuǎn)（

條終止于開環(huán)零點(diǎn)， 條終止于無窮遠(yuǎn)）

4）開環(huán)極點(diǎn)與開環(huán)零點(diǎn) 實(shí)軸根的右側(cè)，開環(huán)極點(diǎn)數(shù)目與開環(huán)零點(diǎn)數(shù)目之和必為奇數(shù)個(gè)

5）漸近線

如果

，則有 條趨近于無窮遠(yuǎn)的根軌跡，則漸近線與實(shí)軸的正方向的夾角為 ，漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)

6）分離點(diǎn)（會(huì)合點(diǎn)）與分離角（會(huì)合角）

兩條或數(shù)條根軌跡在

平面上相遇后又分開的點(diǎn)，稱為根軌跡的分離點(diǎn)（或會(huì)合點(diǎn)），其中坐標(biāo) 的方程式為

分離角是指根軌跡離開重極點(diǎn)處的切線與實(shí)軸正方向的夾角；會(huì)合角是指根軌跡進(jìn)入重極點(diǎn)處的切線與實(shí)軸正方向的夾角。若實(shí)軸上有雙重極點(diǎn)，則其分離角或會(huì)合角為

7）根軌跡與虛軸交點(diǎn)

根軌跡與虛軸相交，說明系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。解以下方程組可的

值和與其對應(yīng)的臨界開環(huán)增益 值

8）根之和

當(dāng)

時(shí)，有

9）起始角與終止角

起始角：起始于開環(huán)極點(diǎn)的根軌跡在起點(diǎn)處的切線與水平線的正方向夾角

終止角：終止于開環(huán)零點(diǎn)的根軌跡在終點(diǎn)處的切線與水平線的正方向夾角

10）

和

利用根軌跡分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能

a）要求系統(tǒng)穩(wěn)定，必須使所有閉環(huán)極點(diǎn)

均位于 平面左半部

b）要求系統(tǒng)快速性，必須使閉環(huán)極點(diǎn)遠(yuǎn)離虛軸

c）要求系統(tǒng)平穩(wěn)性，復(fù)數(shù)極點(diǎn)最好設(shè)置在

平面中與負(fù)實(shí)軸呈 度夾角附近

d）要求動(dòng)態(tài)過程盡快消失，必須使閉環(huán)極點(diǎn)之間的距離加大，即零點(diǎn)靠近極點(diǎn)

主導(dǎo)極點(diǎn)（離虛軸最近的閉環(huán)極點(diǎn)（復(fù)數(shù)或?qū)崝?shù)））

離虛軸最近且它附近沒有閉環(huán)零點(diǎn)，對系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過程性能的影響最大，起著主要的、決定性作用的閉環(huán)極點(diǎn)。工程上把其它極點(diǎn)的實(shí)部絕對值比主導(dǎo)極點(diǎn)絕對值大5倍甚至大2-3倍的閉環(huán)極點(diǎn)忽略。

偶極子（指一對靠得很近的零點(diǎn)，極點(diǎn)）

工程上把一對零，極點(diǎn)間的距離比其自身的模值小一個(gè)數(shù)量級，就可認(rèn)為這對零極點(diǎn)為偶極子。在系統(tǒng)中，適當(dāng)設(shè)計(jì)閉環(huán)零點(diǎn)構(gòu)成偶極子，以消弱對性能不利的極點(diǎn)的影響。

2019.12.30 BUAA Afternoon Lib

總結(jié)

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