網絡節點的度沒有明顯的特征長度我們就稱之為無標度網絡。

一、BA無標度網絡模型

1、模型概述

ER隨機圖和WS小世界模型忽略了實際網絡的兩個重要特性：
（1）增長特性：即網絡的規模是不斷擴大的。例如每個月都會有大量的新的科研文章發表，www上則每天都有大量新的網頁產生。而ER隨機圖和WS小世界模型中網絡節點數是固定的。
（2）公先連接特性：即新的節點更傾向于與那些具有較高連接度的hub節點相連接。這種現象也稱為“富者更富”或“馬太效應”。 例如，新發表的文章更傾向于引用一些已被廣泛引用的重要文獻，新的個人主頁上的超文本鏈接更有可能指向有影響的站點。而在ER隨機圖中，兩個節點之間是否有邊相連是完全隨機確定的，在WS小世界模型中，長程邊的端點也是完全隨機確定的。
基于上述增長和優先連接特性，前人們又提出了BA無標度網絡模型，構造算法如下：
（1）增長：從一個具有m${}_0$個節點的連通網絡開始，每次引入一個新的節點并且連到m個已存在的節點上，這里m<=m${}_0$。
（2）優先連接：一個新節點與一個已經存在的節點i相連接的概率與節點i的度k${}_i$之間有如下關系：

在經過t步后，BA算法產生一個包含N=t+m${}_0$個節點和mt +M${}_0$條邊的網絡，其中M${}_0$是初始時刻t=0的m${}_0$ 個節點之間存在的邊數。
下圖顯示了參數為m${}_0$=M${}_0$=3、m=2的BA網絡的演化過程。已有節點用實心圓點表示，實心圓點的相對大小對應于節點度的相對大小。每次新增加的一個節點用空心圓點表示，它按優先連接機制與網絡中已有的兩個節點相連。

2、冪律度分布

BA模型具有冪律度分布且與參數、網絡規模N均無關。
對BA模型的度分布的理論分析可以有多種方法，包括主方程方法、率方程方法和更為簡潔的近似方法即平均場理論。 在復雜網絡分析中，這幾種方法得到的漸近結果往往都是相同的。

2.1 平均場理論

假設初始網絡有m${}_0$個節點，并記時刻t節點i的度為k${}_i$(t)。對充分大的t，可忽略初始網絡中的M${}_0$條邊并有m${}_0$+t$\approx$t。當一個新節點加入到系統中來時，節點i的度改變(即增加1)的概率為：

現在用平均場理論對BA模型的度分布做近似分析，為此需要給出如下的連續化假設：
（1）時間t不再是離散的，而是連續的;
（2）節點的度值也不再是整數，而是可以為任意實數。
在這兩個假設下，上式概率公式可以解釋為節點i的度的變化率，從而可以把網絡演化近似轉化為單個節點演化的平均場方程：

假設節點i是在時刻t${}_i$加入網絡的，那么上面微分方程的初始條件為k(t${}_i$)=m。于是求得：

假設當時間t->$\infty$時，度分布P(k(t))收斂于穩態度分布P(k)。由概率定義有：

可得：

假設是以相等的時間間隔添加節點的，那么t${}_i$的概率密度為：

從而有：

可得：


上式表明，P(k)/2m${}^2$的取值與m無關。總是近似為k${}^{?3}$。

2.2 主方程方法

平均場分析畢竟是一種近似分析方法，得到的度分布的冪指數是正確的，但是度分布的系數并不準確。下面我們將針對更為一般的模型基于主方程方法給出的精確計算。
BA網絡平均路徑長度和聚類系數的推導由于涉及較深的數學知識，這里只給出有關結果。BA網絡的平均路徑長度比網絡規模的對數還要小；具體地說，當m≥2時有：

另一方面，當網絡規模充分大時，BA網絡并不具有明顯的聚類特征；具體地說，BA網絡的聚類系數滿足：

二、Price模型

1、模型描述

BA模型的度分布是冪指數固定為3的冪律分布，而許多實際的無標度網絡的度分布的冪指數都是在2與3之間的。因此,我們希望能有一個冪指數可以在一定范圍內調整的無標度網絡模型。而這種模型居然在BA模型提出之前的30年就已經存在了。它就是Price模型。
Price有向網絡模型構造算法：
（1）增長：從一個具有m${}_0$個孤立節點的網絡開始，每次引入一個新的節點并且通過m條有向邊指向m個已存在的節點上，這里m<=m${}_0$。
（2）累積優勢：一個新節點有邊指向一個已經存在的入度為k${}_i^{in}$的節點i的概率滿足如下關系：

2、冪指數可調的入度分布

其中

冪指數為：

當k${}^{in}$>>a時有：

這表明Price網絡模型的入度分布近似服從冪指數$\lambda$=2 +a/m的冪律分布。如果a/m≤1，那么冪指數$\lambda$∈(2,3]，這意味著Price網絡模型是一個非均勻的異質網絡。隨著a/m值的增加，Price網絡模型的人度分布的均勻性也不斷增加。因此，Price網絡模型實際上是一個幕指數可調的冪律人度分布的網絡模型。

3、冪指數可調的無向無標度網絡

如果把Price模型中的每一條有向邊都視為無向邊，那么這樣構成的無向網絡中的節點i的度k${}_i$與Price 模型中的節點i的出度m和人度k${}_i^{in}$ 之間具有如下關系：k${}_i$=k${}_i^{in}$ +m。因此，基于Price模型的入度分布對應的無向網絡的度分布為：

這樣就得到了冪指數在(2,$\infty$)范圍內可調的具有冪律度分布的無向網絡。
BA模型可以視為Price模型在取m=a時的特例。

4、優先連接機制的計算機實現

Price模型的計算機實現算法：
（1）給定一個具有m${}_0$個節點的初始強連通網絡。把每一條邊所指向的節點的編號添加到數組Array中。
（2）給定參數p$\in$[0,1]。對于t=1，2，，，N-m${}_0$，執行如下操作：
1）生成一個完全隨機數r$\in$[0,1)；
2）如果r<p，那么就完全隨機的在數組Array中選擇一個元素。
3）如果r>=p，那么就完全隨機的選擇一個節點。
4）執行步驟1）到3）m次后，添加從新加入節點指向選定的m個節點的m條有向邊，并把這m個節點的編號添加到數組Array中。

5、節點復制模型

在優先連接的計算機實現中，由于數組Array是由網絡中每個節點所指向的鄰居節點的編號組成的，因此完全隨機地在數組Array中選取一個元素等價于如下操作：完全隨機地選擇一個已有節點，然后再完全隨機地選擇該節點所指向的一個鄰居點。
也就是說，在一定程度上(由參數p決定)，新加入節點傾向于模仿(復制)網絡中已有節點的行為。這種節點復制模式導致“富者更富”:某個節點如果已經受到很多關注，那么今后就更有可能受到更多的關注。我們可以把參數p視為復制概率：p值越大，意味著新加入的節點越傾向于復制已有節點的行為，從而導致更為顯著的富者更富。
節點復制模型構造算法如下：
（1）增長：從一個具有m${}_0$個孤立節點的網絡開始，每次引入一個新的節點并且通過m條有向邊指向m個已存在的節點上，這里m≤m${}_0$。
（2）節點復制：給定一個參數p∈[0,1]，按照如下方式選擇已有節點，并添加從新節點指向該已有節點的有向邊:
1）生成一個完全隨機數r$\in$[0,1)；
2）如果r<p，那么就完全隨機的選擇一個節點，然后再完全隨機的選取該節點所指向的一個鄰居節點。
3）如果r>=p，那么就完全隨機的選擇一個節點。
4）執行步驟1）到3）m次，并避免重復選擇節點。

三、無標度網絡模型的推廣

BA模型把實際復雜網絡的無標度特性歸結為增長和優先連接這兩個非常簡單明了的機制，這很好地體現了科學研究中的從復雜現象提取簡單本質的特點。但是在BA模型中，越老的節點具有越高的度；換句話說，后來者不可能居上。然而，在許多實際網絡中，節點的度及其增長速度并非只與該節點的年齡有關，還與節點的內在屬性相關。
接下來介紹BA模型的兩種推廣：一種是考慮到節點之間具有不同的競爭能力的適應度模型，另一種是基于局域世界優先連接的網絡模型。

1、適應度模型

適應度模型構造算法：
（1）增長：從一個具有m${}_0$個節點的連通網絡開始，每次引入一個新的節點并且連到m個已存在的節點上，這里m≤m${}_0$。
（2）優先連接：一個新節點與一個已經存在的節點i相連接的概率與節點i的度k${}_i$和適應度η${}_i$之間滿足如下關系:

可以看出，適應度模型與BA無標度模型的區別在于，適應度模型中的優先連接概率與節點的度和適應度之積成正比，而不是僅與節點的度成正比。

2、局部世界演化網絡模型

局部世界演化模型是在BA模型的基礎上基于在諸多實際的復雜網絡中存在著局域世界考慮的。
局域世界演化模型構造算法：
（1）增長：網絡初始時有m${}_0$個節點和e${}_0$條邊。每次新加人一個節點和附帶的m條邊。
（2）局域世界優先連接：隨機地從網絡已有的節點中選取M個節點(M≥m)，作為新加入節點的局域世界(LW)。新加入的節點根據優先連接概率來選擇與局域世界中的m個節點相連，其中LW由新選的M個節點組成：

在每一時刻，新加入的節點從局域世界中按照優先連接原則選取m個節點來連接，而不是像BA無標度模型那樣從整個網絡中來選擇。構造一個節點的局域世界的法則根據實際的局域連接而不同，上述模型中只考慮了隨機選擇的簡單情形。
顯而易見，在t時刻，m≤M≤m${}_0$+t，因此，上述局域世界演化網絡模型有兩個特殊情形：M=m和M=t+m${}_0$。
（1）特殊情形1：M=m
這時,新加入的節點與其局域世界中所有的節點相連接，這意味著在網絡增長過程中，優先連接原則實際上已經不發揮作用了。這等價于BA無標度網絡模型中只保留增長機制而沒有優先連接時的特例。此時，第i個節點的度的變化率為

網絡度分布服從指數分布：

（2）特殊情形2：M=t+m${}_0$
在這種特殊情形，每個節點的局域世界其實就是整個網絡。因此，局域世界模型此時完全等價于BA無標度網絡模型。

四、魯棒性與脆弱性

對于給定的一個網絡，每次從該網絡中移走一個節點，也就同時移走了與該節點相連的所有的邊，從而有可能使得網絡中其他節點之間的一些路徑中斷。如果在節點i和節點j之間有多條路徑，中斷其中的一些路徑就可能會使這兩個節點之間的距離d${}_{ij}$增大，從而整個網絡的平均路徑長度L也會增大。如果節點i和j之間的所有路徑都被中斷，那么這兩個節點之間就不再連通了。如果在移走少量節點后網絡中的絕大部分節點仍是連通的，那么就稱該網絡的連通性對節點故障具有魯棒性。
考慮兩類節點去除策略：一是隨機故障策略，即完全隨機地去除網絡中的一部分節點；二是蓄意攻擊策略，即從去除網絡中度最高的節點開始，有意識地去除網絡中一部分度最高的節點。


從上圖得知無標度網絡對隨機節點故障具有極高的魯棒性；但對蓄意攻擊具有極高的脆弱性，只要有意識的去除網絡中極少量度大的節點就會對整個網絡的連通性產生很大的影響。

上圖形象的比較了隨機網絡和無標度網絡的魯棒性。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的无标度网络模型的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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