你好，歡迎來到我的《數(shù)學(xué)通識(shí)50講》。

我們講無窮大是比任何數(shù)都大，那么世界上只有一個(gè)無窮大嗎？如果有多個(gè)，能比較大小嗎？類似的，無窮小就是無限接近于零，那么世界上會(huì)有不同的無窮小么？

如果我們用靜態(tài)的眼光看待這兩個(gè)概念，答案都是否定的：無窮大和無窮小都是獨(dú)一無二的。比如，無窮大再加上1，或者再乘以2，都是無窮大。

但是，我們已經(jīng)知道，它們其實(shí)不是具體的數(shù)字，而是數(shù)列或者函數(shù)變化的趨勢(shì)，是動(dòng)態(tài)的，因?yàn)楸厝挥心承?shù)列或者函數(shù)會(huì)比其他的增加更快，有些則相對(duì)慢一點(diǎn)的情況。

同樣，往無窮小方向變化也是類似。因此，無窮大或者無窮小應(yīng)該有很多，而且可以通過比較它們之間的變化速率，來比較大小。

我們先看兩個(gè)無窮小的函數(shù)，來比比大小：f(x)=x和正弦函數(shù)g(x)=sin x。我們知道，當(dāng)x趨近于零的時(shí)候，f(x)和g(x)都趨近于零，那么它們趨近于零的速率相同嗎？我們看一眼下表。

我曾經(jīng)試圖用圖來對(duì)比這兩個(gè)函數(shù)變化的趨勢(shì)，但是由于兩條曲線很快合并到一處，看不清楚，因此只能用表來表示。

從表中可以看出，x本身和正弦函數(shù)趨近于零的速率是驚人地一致。于是，我們可以得到這樣一個(gè)結(jié)論，上述兩個(gè)函數(shù)它們趨近于零的速率是相同的。

接下來我們?cè)倏戳硪粋€(gè)趨近于零，速率不同的無窮小。我們對(duì)比一下上述的正弦函數(shù)g(x)=sin (x)和平方根函數(shù)h(x)=√x

我們還是用一張表把它們趨近于零的速率描繪一下：

你會(huì)發(fā)現(xiàn)平方根函數(shù)h(x)相比正弦函數(shù)g(x)趨近于零的速率慢得多。這時(shí)候我們其實(shí)就比較出兩個(gè)無窮小誰“更小”了。

這里面我對(duì)“更小”兩個(gè)字打了引號(hào)，因?yàn)槲覀冞@里說的比較大小其實(shí)不是具體數(shù)字大小的比較，而是趨勢(shì)快慢的對(duì)比。當(dāng)一個(gè)無窮小量比另一個(gè)以更快的速度趨近于零，我們就說第一個(gè)比第二個(gè)更小。

具體到上面的例子，正弦函數(shù)在零附近，相比平方根函數(shù)，是更小的無窮小。當(dāng)然，更準(zhǔn)確的說法是，“高階無窮小”。

下面我給出了一些函數(shù)，它們?cè)诹愀浇际菬o窮小，它們的階數(shù)也越來越高：

• 平方根
• x本身、正弦函數(shù)
• 平方函數(shù) x2
• 立方函數(shù) x3
• 指數(shù)函數(shù)的倒數(shù)

類似的，我們也可以對(duì)無窮大比較大小。你可能會(huì)問，無窮小是趨近于0，然后誰接近0的速率更快，誰就是更小。那么無窮大應(yīng)該和誰去比較呢，它只能和另一個(gè)無窮大去比？其實(shí)如果兩個(gè)無窮大，一個(gè)增加的速率比另一個(gè)更大，我們就說前面的相比后面的是高階的。

比如我們看這樣一個(gè)例子，有兩個(gè)函數(shù)：f(x)=x和平方根函數(shù)h(x)=√x

當(dāng)x趨近于無窮大時(shí)，它們都是無窮大，但是它們變化的速率不同，我也列舉幾個(gè)數(shù)字，放到下面這張表中，給大家一些直觀的感受。

你會(huì)發(fā)現(xiàn)，第三行的平方根函數(shù)比上面的線性函數(shù)x增加的速率要慢很多，越到后來差距越大。當(dāng)然還有比平方根函數(shù)增長(zhǎng)更慢的函數(shù)，比如第四行的對(duì)數(shù)函數(shù)。至于增長(zhǎng)更快的，也有很多，像平方函數(shù)就比線性函數(shù)更快，當(dāng)然指數(shù)函數(shù)要快非常多。

我們按照各個(gè)函數(shù)往無窮大方向增長(zhǎng)的速率，從快到慢給出了下面這樣一些例子：

• 指數(shù)函數(shù) 10^x
• 冪函數(shù) x^N，通常N=2，3，4……
• 自身 x
• 平方根 √x
• 立方根
• 對(duì)數(shù)函數(shù)lg(x)

特別需要指出的是，很多個(gè)低階無窮大，加在一起增長(zhǎng)的速率都比不上一個(gè)高階的。比如說10000x和x的平方相比誰大，當(dāng)x趨向于無窮大時(shí)，后者要大得多。當(dāng)然，x的立方又要比任意有限個(gè)x的平方大。

當(dāng)然，遇到一個(gè)較真的朋友會(huì)說，這些函數(shù)最后反正都趨近于無窮大，你比較它們有意義嗎？答案是有的，因?yàn)闊o窮大本身的含義就是一種趨勢(shì)，而不是一個(gè)數(shù)字。特別是在計(jì)算機(jī)科學(xué)出現(xiàn)之后，它的意義更明顯。

我們知道，計(jì)算機(jī)是一個(gè)計(jì)算速度極快的機(jī)器。對(duì)于小規(guī)模的問題，無論怎么算，也花不了多少時(shí)間。如果說它會(huì)遇到什么難題，那就是規(guī)模很大的問題。

因此，計(jì)算機(jī)算法所關(guān)心的事情，是當(dāng)問題很大時(shí)，不同的算法的計(jì)算量以什么速度增長(zhǎng)。比如，我們把問題的規(guī)模想成是N，當(dāng)N向著無窮大的方向增長(zhǎng)時(shí)，計(jì)算量是高階的無窮大，還是低階的。

假如算法A的計(jì)算量和N成正比，那么當(dāng)N從10000增加到100萬時(shí)，計(jì)算量也增加100倍；如果算法的計(jì)算量和N的平方成正比，事情就麻煩得多了，當(dāng)N同樣從10000增加100倍到100萬時(shí)，計(jì)算量要增加10000倍。

類似的，如果算法C的計(jì)算量是N的立方，則要增加100萬倍。當(dāng)然遇到極端的情況，計(jì)算量是N的指數(shù)函數(shù)，問題就無法解決了。相反，如果算法D的計(jì)算量是N的對(duì)數(shù)函數(shù)，那么太好了，無論N怎么增加，計(jì)算量幾乎不增加。

因此，計(jì)算機(jī)算法的精髓其實(shí)就是在各種無窮大中，找一個(gè)小一點(diǎn)的無窮大。一個(gè)好的計(jì)算機(jī)從業(yè)者，他在考慮算法時(shí)，是在無窮大這一端，考慮計(jì)算量增長(zhǎng)的趨勢(shì)，一個(gè)平庸的從業(yè)者，則是對(duì)一個(gè)具體的問題，一個(gè)固定的N，考慮計(jì)算量。

前者可以講是用高等數(shù)學(xué)武裝起頭腦，后者對(duì)數(shù)學(xué)的理解還在小學(xué)水平。我們上大學(xué)的目的首先是通過學(xué)習(xí)課程換腦筋，然后才是掌握知識(shí)點(diǎn)。

那么對(duì)于無窮小，區(qū)別出高階和低階有意義嗎？有意義，而且意義也很大。我們還是拿計(jì)算機(jī)算法舉例子。很多時(shí)候我們要求計(jì)算的誤差在經(jīng)過一次次迭代后不斷下降，往無窮小的方向走。

比如我們控制導(dǎo)彈和火箭飛行的精度，要在微調(diào)中向著目標(biāo)方向靠近。那么通過幾次的迭代就趨近于目標(biāo)方向，還是要經(jīng)過很多次迭代才達(dá)到，這個(gè)差異就很大了。

假如我們有一種控制的方法，它是按照下面一個(gè)序列將誤差逐步消除：

1，1/2，1/3，1/4，……，1/1000……

這個(gè)序列最終發(fā)展下去是無窮小，但是如果我們想讓誤差小于1/1000，需要調(diào)整1000次。

假如我們有辦法讓誤差按照下面的序列消除：

1，0.1，0.01，0.001，……

那么只需要四次調(diào)整，就能做到誤差小于1/1000。

你可以想象，在高速飛行的火箭中，每一秒，火箭都能飛出去幾公里到十幾公里，如果需要調(diào)整一千次，在調(diào)整好之前，火箭早就偏出十萬八千里了。因此，在很多計(jì)算機(jī)算法里，希望以高階無窮小的速度接近零。

無窮大和無窮小不僅能比較，而且也能計(jì)算。有些計(jì)算結(jié)論是一目了然的，比如無窮大和無窮大相加相乘，結(jié)果都是無窮大，而無窮小之間做加減乘，結(jié)果都是無窮小。這比較好理解。

但是，無窮大除以無窮大，無窮小除以無窮小等于多少呢？那就要看分子和分母上的無窮大或者無窮小誰變化快了。比如說，當(dāng)x趨近于零時(shí)，sin x是無窮小，根號(hào) x 也是無窮小，那么sin x /√x等于幾呢？

我們前面講過，前者變化快，以更快的速度趨近于零，后者變化慢，因此相除的結(jié)果就是0。如果反過來，根號(hào) x在分子的位置，sinx在分母的位置，這個(gè)比值就是無窮大。

對(duì)于無窮大的除法，情況也是類似。此外，如果一個(gè)無窮大乘以一個(gè)無窮小，結(jié)果可以是一個(gè)常數(shù)，也可以是零，或者無窮大，就看它們誰的階數(shù)更高了。

我們?cè)谇懊嬷v芝諾悖論時(shí)提到，在等比數(shù)列中，無窮多個(gè)無窮小相加，結(jié)果是有限的，就是這個(gè)道理，因?yàn)椴粩嘧冃〉牡缺葦?shù)列，會(huì)形成一個(gè)高階無窮小。

要點(diǎn)總結(jié)：

雖然無窮大和無窮小不是具體的數(shù)，但它們也能比較大小，比的不是具體的數(shù)值，而是變化的趨勢(shì)。變化趨勢(shì)快的，叫做高階，變化趨勢(shì)慢的，叫做低階。通過它們的比較，我們把“比大小”這個(gè)概念的認(rèn)知拓展了。

這有什么意義呢？我給你打個(gè)比方，假如房?jī)r(jià)每年的增長(zhǎng)是以幾何級(jí)數(shù)上升的，當(dāng)然你的收入增長(zhǎng)也是如此，如果時(shí)間足夠長(zhǎng)，它們都往無窮大的方向發(fā)展。但是，如果房?jī)r(jià)每年漲3%，你的收入漲10%，只要你的生命足夠長(zhǎng)，你早晚買得起房子。

如果你的收入增長(zhǎng)是每年20%，這就是一個(gè)相對(duì)高階的無窮大，你會(huì)很快買得起房子。相反，如果你的收入增長(zhǎng)不到3%，相比房?jī)r(jià)的增長(zhǎng)，它就是低階無窮大，你永遠(yuǎn)買不起房子。

無窮大和無窮小不僅可以比較，還可以做加減乘除運(yùn)算。當(dāng)然，這種運(yùn)算和3+5=8這樣確定性的運(yùn)算不同，特別是在做乘除法時(shí)。我通常喜歡用“博弈”這個(gè)詞形容一個(gè)無窮大和一個(gè)無窮小相乘的情況，因?yàn)榻Y(jié)果是什么，就看誰的階高了。

這就好比你和你的女朋友，彼此的激情隨著苯基乙胺濃度降低在不斷減退，另一方面，親情的卻隨著內(nèi)啡肽的濃度上升會(huì)逐漸穩(wěn)定，最后是成功，還是分手，就是無窮大和無窮小趨勢(shì)的博弈。

講到這里，你可能會(huì)想，我為什么發(fā)此感慨，其實(shí)通過數(shù)學(xué)的邏輯，理解人生的一些道理，是把數(shù)學(xué)作為通識(shí)課講的原因。下一講我們就系統(tǒng)回顧一下這個(gè)模塊的內(nèi)容，我也和你分享一下數(shù)學(xué)對(duì)我的影響。我們下一講再見。——吳軍《數(shù)學(xué)通識(shí)五十講》

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的java怎么表示正无穷大_有什么比无穷大更大，比无穷小更小？的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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