全概率公式，貝葉斯公式推導過程

（1）條件概率公式

? ? ? ? 設A,B是兩個事件，且P(B)>0,則在事件B發生的條件下，事件A發生的條件概率（conditional probability)為：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?P(A|B)=P(AB)/P(B)

?

（2）乘法公式

? ? ? ? ?1.由條件概率公式得：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A) ? ?

? ? ? ? ? ? ?上式即為乘法公式；

? ? ? ? ?2.乘法公式的推廣：對于任何正整數n≥2，當P(A1A2...An-1) > 0 時，有：

? ? ? ? ? ? ? ? ?P(A1A2...An-1An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...P(An|A1A2...An-1)

? ? ? ? ? ? ? ? ?

? （3）全概率公式

? ? ? ? 1. 如果事件組B1，B2，.... 滿足

? ? ? ? ? ? ? ?1.B1，B2....兩兩互斥，即 Bi?∩ Bj?= ? ，i≠j ， i,j=1，2，....，且P(Bi)>0,i=1,2,....;

? ? ? ? ? ? ? ?2.B1∪B2∪....=Ω ，則稱事件組 B1,B2,...是樣本空間Ω的一個劃分

? ? ? ? ? 設?B1,B2,...是樣本空間Ω的一個劃分，A為任一事件，則：

? ? ? ? ? ?上式即為全概率公式（formula of total probability)

? ? ? ?2.全概率公式的意義在于，當直接計算P(A)較為困難,而P(Bi),P(A|Bi) ?(i=1,2,...)的計算較為簡單時，可以利用全概率公式計算P(A)。思想就是，將事件A分解成幾個小事件，通過求小事件的概率，然后相加從而求得事件A的概率，而將事件A進行分割的時候，不是直接對A進行分割，而是先找到樣本空間Ω的一個個劃分B1,B2,...Bn,這樣事件A就被事件AB1,AB2,...ABn分解成了n部分，即A=AB1+AB2+...+ABn, 每一Bi發生都可能導致A發生相應的概率是P(A|Bi)，由加法公式得

? ? ? ? ?P(A)=P(AB1)+P(AB2)+....+P(ABn)

? ? ? ? ? ? ? ?=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|Bn)P(PBn)

? ? ? ? 3.實例：某車間用甲、乙、丙三臺機床進行生產，各臺機床次品率分別為5%，4%，2%，它們各自的產品分別占總量的25%，35%，40%，將它們的產品混在一起，求任取一個產品是次品的概率。

? ? ? ? ? ? ? ? 解：設..... ? ? P(A)=25%*5%+4%*35%+2%*40%=0.0345

?

? ? （4）貝葉斯公式

? ? ? 1.與全概率公式解決的問題相反，貝葉斯公式是建立在條件概率的基礎上尋找事件發生的原因（即大事件A已經發生的條件下，分割中的小事件Bi的概率），設B1,B2,...是樣本空間Ω的一個劃分，則對任一事件A（P(A)>0),有

? ? ? ? ? ? ???

? ? ? ? ?上式即為貝葉斯公式（Bayes formula)，Bi?常被視為導致試驗結果A發生的”原因“，P(Bi)(i=1,2,...)表示各種原因發生的可能性大小，故稱先驗概率；P(Bi|A)(i=1,2...)則反映當試驗產生了結果A之后，再對各種原因概率的新認識，故稱后驗概率。

? ? ? 2.實例：發報臺分別以概率0.6和0.4發出信號“∪”和“—”。由于通信系統受到干擾，當發出信號“∪”時，收報臺分別以概率0.8和0.2受到信號“∪”和“—”；又當發出信號“—”時，收報臺分別以概率0.9和0.1收到信號“—”和“∪”。求當收報臺收到信號“∪”時，發報臺確系發出“∪”的概率。

? ? ? ? ?解：設....， P(B1|A）= (0.6*0.8)/(0.6*0.8+0.4*0.1)=0.923

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的算法——贝叶斯公式的推导过程的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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