分式包括分式的概念、分式的基本性質(zhì)、分式的運(yùn)算、簡(jiǎn)單的分式方程等主要內(nèi)容。

?從整式到分式,我們可以形象地說(shuō)是從“平房”到了“樓房”在腳手架上活動(dòng),無(wú)疑增加了難點(diǎn),體現(xiàn)在:解分式問(wèn)題總是在分式有意義的前提下進(jìn)行的,因此必須考慮字母取值范圍;分式運(yùn)算中的通分和約分是技巧性較強(qiáng)的工作,需要靈活處理

分式的運(yùn)算與分?jǐn)?shù)的運(yùn)算相似,是以分式的基本性質(zhì)、運(yùn)算法則、通分和約分為基礎(chǔ),是以整式的變形、因式分解為工具,分式的加減運(yùn)算是分式運(yùn)算的難點(diǎn),突破這一難點(diǎn)的關(guān)鍵是能根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)恰當(dāng)?shù)赝ǚ?常用通分的策略與技巧有:化整為零,分組通分;步步為營(yíng),分步通分;減輕負(fù)擔(dān),先約分再通分;裂項(xiàng)相消后通分等

整體與局部是一對(duì)矛盾,又可相互轉(zhuǎn)化,當(dāng)一個(gè)數(shù)學(xué)回題不能或不便于從整體上加以解決時(shí),我們常從局部入手將原題分解,這就是解題的分解策略.解絕對(duì)值問(wèn)題時(shí)用的分段、分類討論,因式分解的分組分解法,分式運(yùn)算中的分步分組通分等,是分解策略的具體運(yùn)用

從條件$a+b+c=0$出發(fā),可導(dǎo)出以下重要結(jié)論

構(gòu)造相反數(shù)得:$a+b=-c$

移項(xiàng)平方得:$a^2+b^2-c^2=-2ab$

$a^2+b^2+c^2=-2(ab+bc+ca)$

$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{b^2}=(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2y$

$a^3+b^3+c^3=3abc$

與特殊是對(duì)立統(tǒng)一的矛盾關(guān)系,二者相互依存、相互轉(zhuǎn)化,從特殊到一般和從一般到特殊是人類認(rèn)識(shí)世界的一般規(guī)律

拿到一道數(shù)學(xué)題,該怎樣入手?當(dāng)代著名美國(guó)數(shù)學(xué)家波利亞說(shuō)過(guò):“我們應(yīng)該討論一般化、特殊化和類比這些過(guò)程本身,它們是獲得發(fā)現(xiàn)的偉大源泉.”

為了思維的靈活性,為了更深入本質(zhì)地認(rèn)識(shí)問(wèn)題,解題思路的探尋與解后反思常經(jīng)歷下面兩個(gè)途徑

清晰地展示問(wèn)題的特殊性

深刻地星現(xiàn)問(wèn)題的一般性

求證;對(duì)任意兩兩不等的三個(gè)數(shù)$a,b,c$,都有$\frac{(a+b-c)^2}{(a-c)(b-c)}+\frac{(b+c-a)^2}{(b-a)(c-a)}+\frac{(c+a-b)^2}{(c-b)(a-b)}$是常數(shù)

給出一定的條件,在此條件下求分式的值稱為有條件的分式求值.而分式的化簡(jiǎn)與求值是緊密相連的,求值之前必須先化簡(jiǎn),化簡(jiǎn)的目的是為了求值,先化簡(jiǎn)后求值是解有條件的分式化簡(jiǎn)與求值的基本策略

解有條件的分式化簡(jiǎn)與求值問(wèn)題時(shí),既要瞄準(zhǔn)目標(biāo),又要抓住條件;既要根據(jù)目標(biāo)變換條件,又要依據(jù)條件來(lái)調(diào)整日標(biāo),除了要用到整式化簡(jiǎn)求值的知識(shí)方法外,還常常用到如下技巧:恰當(dāng)引入?yún)?shù);取倒數(shù)或利用倒數(shù)關(guān)系;拆項(xiàng)變形或拆分變形;整體代入;利用比例性質(zhì)等

在解某些含多個(gè)字母的代數(shù)問(wèn)題時(shí),如果已知與未知之間的聯(lián)系不明顯,為了溝通已知與未知之間的聯(lián)系,則可考慮引入一個(gè)參數(shù),參數(shù)的引入,可起到溝通變?cè)⑾淖饔?/p>

若$x^2-px+1=0$(p為不為零的常數(shù)),則

$x^2+1=px,x^2-px=-1$

$x+\frac{1}{x}$進(jìn)而可求出$x^2+\frac{1}{x^2}$、$x^3+\frac{1}{x^3}$等代數(shù)式的值

代數(shù)式的值在直接求解、求證原問(wèn)題難以入手時(shí),把原問(wèn)題作適當(dāng)?shù)淖儞Q,如換一種說(shuō)法、換一種形式,構(gòu)造一個(gè)或幾個(gè)比原問(wèn)題簡(jiǎn)單成熱悉,易于求解的新問(wèn)題,通過(guò)對(duì)新問(wèn)題的研究,發(fā)現(xiàn)原問(wèn)題的解題思路,這就是數(shù)學(xué)解題中的轉(zhuǎn)換思想

通過(guò)尋找目標(biāo)差，不斷縮小目標(biāo)差而實(shí)現(xiàn)解題的思考方法，稱為差異分析法。

從何處入手?向哪里邁進(jìn)?這是差異分析法解決問(wèn)題的兩個(gè)基本切入點(diǎn),

目標(biāo)意識(shí)、減少差異、消除差異,成功實(shí)現(xiàn)代數(shù)恒等變形中的有序推理

解數(shù)學(xué)題是運(yùn)用已知條件去揮求未知結(jié)論的一個(gè)過(guò)程,如何運(yùn)用已知條件是解題順暢的重要前提,對(duì)已知條件的運(yùn)用有下列途徑:

直接運(yùn)用條件;

變形運(yùn)用條件;

綜合運(yùn)用條件;

挖抵隱含條件

解分式方程時(shí)，紀(jì)要舍去增根，又要善于利用增根，確定方程中的參數(shù)值或取值范圍

已知關(guān)于$x$的分式方程$\frac{x+k}{x+1}-\frac{k}{x-1}=1$的解為負(fù)數(shù),求$k$的取值范圍

當(dāng)$a$為何值時(shí),關(guān)于$x$的分式方程$\frac{1}{x-1}-\frac{a}{2-x}=\frac{2(a+1)}{x^2-3x+2}$總無(wú)解?