UA MATH523A 實分析3 積分理論例題 Fubini定理計算一元積分

例 計算
$${\int }_0^{\infty }{e}^{?sx}\frac{{\sin }^2(x)}{x}dx$$

解
1）記$X=[0,+\infty ),Y=[0,1]$，并在$X,Y$上定義Lebesgue測度。定義$f_s:X\times Y\to \mathbb{R}$，
$$f_s(x,y)=e^{?sx}\sin (2xy)$$

注意到當給定$s$時，$f_s(x,y)$是一個連續函數，因此$f_s(x,y)$是一個可測函數。根據Tonelli定理，
$$\begin{gathered} ?|f_s|d(m\times m)={\int }_0^{\infty }{\int }_0^1|f_s(x,y)|dm(x)dm(y) \\ \le {\int }_0^{\infty }{\int }_0^1{e}^{?sx}dm(x)dm(y)=\frac{1}{s}<+\infty \end{gathered}$$

因此$f_s\in L^1(X\times Y)$，所以對$f_s$的二重積分適用Fubini定理。

2）驗證
$${\int }_0^{\infty }{e}^{?sx}\frac{{\sin }^2(x)}{x}dx=?f_s(x,y)dm(y)dm(x)$$

回顧一下三角函數的倍角公式，
$$\cos (2x)=1?2{\sin }^2(x)?{\sin }^2(x)=?\frac{\cos (2x)?1}{2}$$

我們計算等式右邊的內層積分，
$$\begin{gathered} {\int }_0^1\sin (2xy)dm(y)=?\frac{1}{2x}\cos (2xy){|}_0^1 \\ =?\frac{\cos (2x)?1}{2x}=\frac{{\sin }^2(x)}{x} \end{gathered}$$

這就說明這個等式是成立的。

3）根據Fubini定理，
$$?f_s(x,y)dm(y)dm(x)=?f_s(x,y)dm(x)dm(y)$$

下面我們就來計算等式右邊這個積分。先考慮內層積分
$${\int }_0^{\infty }{e}^{?sx}\sin (2xy)dm(x)$$

這個積分是數學分析中是很常見，它屬于symmetric integral，這類積分只需要連用兩次分部積分就可以積出來。我們直接寫出結果：
$${\int }_0^{\infty }{e}^{?sx}\sin (2xy)dm(x)=\frac{1}{s}\frac{\frac{2y}{s}}{1+(\frac{2y}{s}{)}^2}$$

接下來我們計算外層積分，
$${\int }_0^{\infty }\frac{1}{s}\frac{\frac{2y}{s}}{1+(\frac{2y}{s}{)}^2}dm(y)$$

這個積分用換元積分法就可以，令$z=1+(\frac{2y}{s}{)}^2$即可，
$${\int }_0^{\infty }\frac{1}{s}\frac{\frac{2y}{s}}{1+(\frac{2y}{s}{)}^2}dm(y)=\frac{1}{4}{\int }_0^{1+(2/s{)}^2}\frac{1}{z}dz=\frac{\ln (1+\frac{4}{s^2})}{4}$$

評注
被積函數為$f(x)g(x)$的積分，如果比較難積，可以考慮將$f(x)$或者$g(x)$寫成積分形式，比如
$$g(x)={\int }_{Y}h(x,y)dy$$

這樣積分就可以寫成
$$\begin{gathered} {\int }_{X}f(x)g(x)dx={\int }_{X}f(x){\int }_{Y}h(x,y)dydx \\ ={\int }_X{\int }_{Y}f(x)h(x,y)dydx \end{gathered}$$

如果$f(x)h(x,y)$滿足Fubini定理，那么
$${\int }_X{\int }_{Y}f(x)h(x,y)dydx={\int }_Y{\int }_{X}f(x)h(x,y)dxdy$$

因此，只要$f(x)h(x,y)$關于$x$比關于$y$的積分更容易計算，我們就可以用化一元積分為二元積分的思路計算復雜的一元積分。

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總結

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