某高校的某專業于2020/11/8日進行《信號與系統》期中考試，而某同學這次考試直接爆炸，原因某同學也差不多知道：對待這門學科淺嘗輒止，只達到了看著答案（看答案+看書）能夠把作業做出來的程度。雖然已經爆炸了，但是可能以后自己還是會這樣做？ 或者自己對感興趣的地方深入的進行分析理解，其實自己并不是太在意績點，但是在這個績點為王的時代，最好還是別太低吧（這也許就是生活吧），也不知道自己做的對不對，但是對自己感興趣之處進行潛心鉆研并且總保持熱愛應該不會錯吧？

本文記錄以下期中信號復習過程中自己真正獲得一些東西吧

1. 關于求全響應的諸多方法

• 對于輸入信號無跳變時全響應的求解
  $$\frac{d^{2}r(t)}{d{t}^2}+7\frac{dr(t)}{dt}+6r(t)=6e(t),其中e(t)=sin(2t)$$
  上述無跳變指輸入信號無$u(t)$或者$\delta (t)$的形式

首先想指明一點，對于上述微分方程其實和信號與系統沒有一點關系，只需要強大的數理基礎 可以解出答案，即數學分析或者高等數學中學的解二階非線性齊次微分方程的方法——齊次解+特解

齊次解+特解

齊次解：根據微分方程寫出特征方程$${\alpha }^2+7\alpha +6=0$$求出特征根${\alpha }_1=?1,{\alpha }_2=?6$，然后即可設齊次解為$r_h(t)=A_1{e}^{{\alpha }_{1}t}+A_2{e}^{{\alpha }_{2}t}=A_1{e}^{?t}+A_2{e}^{?6t}$（這里的系數需要把玩完全解求出后帶入初始條件求得）

特解：求特解有一個表格，根據方程右端的形式可以直接設特解為$r_p(t)=B_{1}sin2t+B_{2}cos2t$，然后把該解帶入方程求得系數$B_1=\frac{3}{50},B_2=?\frac{21}{50}$

由此根據上述結果可得到完全解$$r(t)=r_h(t)+r_p(t)=A_1{e}^{?t}+A_2{e}^{?6t}+\frac{3}{50}sin2t?\frac{21}{50}cos2t$$ 最終通過題目給出的初始條件即可求出結果

《電路分析基礎》對方程的初始條件引入了$0_{?}$和$0_{+}$的概念由此有另一種解法——全響應$=$零輸入+零狀態

零輸入+零狀態

首先說明無論求零輸入響應還是求零狀態響應，我們都需要求完全解，那么如何求完全解？當然是用齊次解+特解的方式求得hhh，但是零輸入和零狀態都有一些特點

零輸入響應：所謂零輸入，意思就是沒有輸入，也就是微分方程右端是$0$，那么完全解中的特解$\equiv 0$，那么我們只需要求特解即求出了完全解，求出完全解后需要根據初始條件求出系數（題目一般會給出$0_{?}$時刻的條件，由于沒有輸入$一般情況下0_{?}=0_{+}$）

零狀態響應：所謂零狀態，意思是輸入信號之前系統未存儲能量也就是所有$0_{?}$時刻的變量$\equiv 0$，只需要根據方程求出$0_{+}$，而對于無跳變，說明$0_{?}=0_{+}$

那么問題來了？信號與系統到底學了什么？

• 對于輸入信號存在跳變時全響應的求解
  《信號與系統》增加了一種新的情況，對于輸入信號存在跳變（沖激、階躍函數）是的求解。
  不妨考慮如下微分方程
  $$\frac{d^{2}r(t)}{d{t}^2}?7\frac{dr(t)}{dt}+6r(t)=6u(t)$$
  如果我們同樣按照上述方法求，在遇到求特解是我們可能產生疑問，因為特解一般是查表得出形式但是表中并沒有$u(t)$，課本中有的例題含糊的把特解設成常數（$t\ge 0$時$u(t)=1$是個常數），然后再根據沖激函數匹配法求出跳變值以求出$0_{+}$時刻的變量，這樣做確實能夠求出答案，但是？（有一個問題寫在后面）
  而信號與系統給我們介紹了一個新的方法求響應，本質上還是全響應=零輸入+零狀態

零輸入+卷積法求零狀態

零輸入：和之前一樣只需要求出齊次解即可

零狀態：對于零狀態響應先求出方程右邊只有$\delta (t)$的響應，然后通過原方程的零狀態響應即為與原方程右邊的卷積
$$\frac{d^{2}h(t)}{d{t}^2}?7\frac{dh(t)}{dt}+6r(t)=\delta (t)$$
而根據理論推導，我們可以直接設特解為$$h(t)=(A_1{e}^t+A_2{e}^{6t})u(t)$$并且得出$h^{{}^{\prime }}(t)=1,h(t)=0$，根據此求出系數。最終$r(t)=h(t)?u(t)$

對于卷積這種方法，能夠應對所有微分方程，無論有無跳變點，而對于前兩種方法在有跳變點是需要根據沖激函數匹配法獲得一些跳變信息，進而求出$0_{+}$的相關條件，然后求解。

不過感覺一直有一個問題即關于特解到底如何去設?，在上述例子的但是？ 前的方法也能求出答案，不過書本上有這樣一個題目是關于差分方程的題目，我們知道差分方程只要效仿微分方程，只不過設的特解形式不同，本質上沒有什么差別，這里就不贅述差分方程的求解方法，直接上題目（題目來源于呂玉琴老師版的《信號與系統》P110 2-37(1) ）
$$y(n)?2y(n?1)+y(n?2)=u(n),y(?1)=y(?2)=0$$
如果不用卷積求零狀態時，我們在設特解的時候可能產生疑問？特解形式是什么？
特解表格中并沒有$u(t)$的形式，不過我在同樣數中找到了一個例題（P90例2-8-4）中講到一個方法對于本題按照它的思路即由于在$n\ge 0$時$u(n)=1$可以設特解是一個常數$B$，顯然如果本題這樣設會得出一些荒謬的結論，由此可以斷定對于存在跳變時特解的形式遠非那么簡單。然后我也不知道怎么搞了???

不過此題如果按照卷積方法求，就可以得到正確答案。卷積大法好！

2. 卷積微積分性質應用條件

眾所周知對于以下等式是有適用條件的
$$f_1(t)?f_2(t)=f_1^{(1)}(t)?f_2^{(?1)}(t)$$
而《信號與系統》書中提到的條件是需要讓$f_1(t)={\int }_{?\infty }^t\frac{d{f}_1(t)}{dt}dt$，并舉出如下例題：

求卷積$sgn(t)?\delta (t)$？
如果我們用微積分性質那么$$sgn(t)?\delta (t)=sg{n}^{(1)}(t)?{\delta }^{(?1)}(t)=2\delta (t)?u(t)=2u(t)$$
但是實際上$sgn(t)?\delta (t)=sgn(t)$，由此上述結果顯然不對，問題就出在$${\int }_{?\infty }^t\frac{dsgn(t)}{dt}dt=sgn(t)$$

其實上述提及到的條件還是有點牽強，于是我在網上尋找了一篇論文此論文中有詳細解答《淺析由卷積微積分性質所得推論的應用條件》

這里直接指明論文中得出的結果，如果想讓卷積微積分性質成立那么需要$$[f_1(t)?f_2(t){]}_{t=?\infty }=0$$
根據卷積定義進一步得出$$f_1(t){|}_{t=?\infty }=f_2(t){|}_{t=?\infty }=0$$
不難發現論文中得出的結論同樣適用于書中舉出的例題。如需要詳細證明過程請直接閱讀上述論文

3. 公式

一些常用公式~

沖激函數

• $$\delta (at)=\frac{1}{|a|}\delta (t)$$
• $${\int }_{?\infty }^{+\infty }f(t){\delta }^{(n)}(t)=(?1{)}^n{f}^{(n)}(0)$$
• $$f(t){\delta }^{{}^{\prime }}(t)=f(0){\delta }^{{}^{\prime }}(t)?f^{{}^{\prime }}(0)\delta (t)$$

卷積

• $$g(t)=f_1(t)?f_2(t)={\int }_{?\infty }^{+\infty }{f}_1(\tau )f_2(t?\tau )d\tau$$
• $$f(t)?h(t)=h(t)?f(t)$$
• $$f(t)?(h_1(t)+h_2(t))=f(t)?h_1(t)+f(t)?h_2(t)$$
• $$g^{(n?m)}(t)=f^{(n)}(t)?h^{(?m)}(t)=f^{(?m)}(t)?h^{(n)}(t)$$
• $$f_1(t?T_1)?f_2(t?T_2)={\int }_{?\infty }^{+\infty }{f}_1(\tau ?T_1)f_2(t?\tau ?T_2)d\tau =f_1(t?T_1?T_2)?f_2(t)=f_1(t)?f_2(t?T_1?T_2)$$

傅里葉變換

• $$F(\omega )={\int }_{?\infty }^{+\infty }f(t)e^{?j\omega t}dt$$
• $$f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{?\infty }^{+\infty }F(\omega )e^{j\omega t}d\omega$$
• $$c_1{f}_1(t)+c_2{f}_2(t)?c_1{F}_1(\omega )+c_2{F}_2(\omega )$$
• $$F(t)?2\pi f(?\omega )$$
• $$f(at)?\frac{1}{|a|}F(\frac{\omega }{a})$$
• $$f(t?t_0)?F(\omega )e^{?j\omega t_0}$$
• $$f(t)e^{j\omega t_0}?F(\omega +{\omega }_0)$$
• $$\frac{d^{n}f(t)}{d{t}^n}?(j\omega {)}^{n}F(\omega )$$
• $$(?jt{)}^{n}f(t)?\frac{d^{n}F(\omega )}{d{\omega }^n}$$
• $${\int }_{?\infty }^{t}f(\tau )d\tau ?\pi F(0)\delta (\omega )+\frac{F(\omega )}{j\omega }$$
• $$f_1(t)?f_2(t)?F_1(\omega )F_2(\omega )$$
• $$f_1(t)f_2(t)?\frac{1}{2\pi }{F}_1(\omega )?F_2(\omega )$$

常用傅里葉變換

時域頻域

$\delta (t)$	1
${\delta }^{{}^{\prime }}(t)$	$j\omega$
$u(t)$	$\pi \delta (\omega )+\frac{1}{j\omega }$
$E$	$2\pi E\delta (\omega )$
$E[u(t+\frac{\tau }{2})?u(t?\frac{\tau }{2})]$	$E\tau Sa(\frac{\omega \tau }{2})$
$ESa({\omega }_{0}t)$	$\frac{E\pi }{{\omega }_0}[u(\omega +{\omega }_0)?u(\omega ?{\omega }_0)]$
$sgn(t)$	$\frac{2}{j\omega }$
$\frac{1}{t}$	$?j\pi sgn(\omega )$

最后還想吐槽一句其實我就會求微分方程或者差分方程，結果大題還沒有考這些，考了畫圖，結果直接涼涼

不過還是要加油哦~

總結

以上是生活随笔為你收集整理的《信号与系统》期中总结的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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