?題目大意：有N個盒子，里面都放著禮物，M個人依次去選擇盒子，每人僅能選一次，如果里面有禮物則將禮物取出來，把空盒子放回原位，若沒有禮物，則把空盒子放回原位。求禮物被拿走的個數的數學期望。

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一、期望dp

　　　　表示狀態：

　　　　　　dp[i] = 該第i個人拿箱子時的總禮物的期望

　　　　找出答案：

　　　　　　ans = dp[m]

　　　　如何轉移：

　　　　　　對于第i個人，拿到禮物或沒拿到。

　　　　　　（1）φ（沒拿到） = dp[i]　　P（沒拿到） = dp[i]/n

　　　　　　（2）φ（拿到） = dp[i]+1　　P（拿到） = (n-dp[i])/n

　　　　　　綜上：dp[i+1] = dp[i] * dp[i]/n + (dp[i]+1) * (n-dp[i])/n

　　　　邊界條件：

　　　　　　dp[0] = 0

　　　　　　還沒開始拿的時候禮物數為0

?

　　二、概率dp

　　　　表示狀態：

　　　　　　dp[i] = 第i個人拿到禮物的概率

　　　　找出答案：

　　　　　　ans = ∑ dp[i]

　　　　　　每個人得到禮物的概率 * 得到禮物的數量（為1） 之和。

　　　　如何轉移：

　　　　　　對于第i個人，拿到禮物或沒拿到。

　　　　　　（1）沒拿到：dp[i+1]依然等于dp[i]，沒拿到禮物的概率為1-dp[i].

　　　　　　（2）拿到：dp[i+1] = dp[i] - 1/n，拿到的概率為dp[i].

　　　　　　綜上：dp[i+1] = dp[i] * (1 - dp[i]) + (dp[i] - 1/n) * dp[i]

　　　　邊界條件：

　　　　　　dp[0] = 1

　　　　　　所有盒子里都有禮物，第0個人一定拿到禮物。

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　　三、推公式

　　　　m個人是獨立的。

　　　　對于每個禮物不被人選中的概率為((n-1)/n)^m

　　　　那么不被選中的禮物數的期望就是 n*((n-1)/n)^m

　　　　所以答案就是 n-n*((n-1)/n)^m

出處：https://www.cnblogs.com/Leohh/p/7566376.html

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轉載于:https://www.cnblogs.com/Willems/p/10941187.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的SGU495 Kids and Prizes 概率DP，期望公式的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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