對于每個平面圖，都有唯一一個對偶圖與之對應(yīng)。若G‘是平面圖G的對偶圖，則滿足：

G'中每一條邊的兩個節(jié)點對應(yīng)著G中有公共邊的面，包括最外部無限大的面。

直觀地講，紅色標(biāo)出來的圖就是藍(lán)色標(biāo)出的圖的對偶圖。

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求出一個平面圖的對偶圖（而且不是特殊的結(jié)構(gòu)），可以貪心地找出所有最小的面。但如何描述最小？我們要固定一條邊，按它順時針或逆時針的方向找到第一條邊，直到出現(xiàn)第一個訪問過的邊，就找到了一個面。

具體地將：從每個邊出發(fā)，按有方向的角排序，找到角度最大或最小的邊，再進(jìn)行下去。反正自己寫寫代碼就知道了。

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例題

給出一個平面圖，每個點有a和b兩種屬性，每個面（包括無限大的面）的價值為在這個面上的點的a總和或b總和，若相鄰的面所選的屬性不同，代價為所有相鄰點邊的點權(quán)和。最大化總價值。N≤4000。

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思路

考場上從沒寫過對偶圖，結(jié)果自己搞出來了.......反而最小割沒寫出來。

轉(zhuǎn)完對偶圖后，從S向每個對偶圖上的點連一條比邊權(quán)為該面的a價值總和的邊，再從這個點向T連一條邊權(quán)為該面的b價值總和的邊。對于原圖相鄰的面，連一條權(quán)值為公共邊價值和的邊（這個要雙向）。不難發(fā)現(xiàn)其最小割為最小的代價。

如：重復(fù)的邊合并即可。

一個不需要代碼的代碼：

1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 typedef long long int ll; 4 const double pi=3.1415926535898; 5 const ll maxn=2E5+5; 6 const ll inf=INT_MAX; 7 ll min(ll x,ll y){return x<y?x:y;} 8 struct pt 9 { 10 double x,y; 11 int pos; 12 pt(double a=0,double b=0,int p=0){x=a,y=b;pos=p;} 13 void operator=(pt A){x=A.x,y=A.y,pos=A.pos;} 14 pt operator+(pt A){return pt(x+A.x,y+A.y,pos);} 15 pt operator-(pt A){return pt(x-A.x,y-A.y,pos);} 16 void out(){cout<<x<<" "<<y<<" ";} 17 }p[maxn]; 18 ll n,m,v[maxn][2],x,y,z,cur,val[maxn][2],ans,dfn[maxn],ti,S,T; 19 bool vis[maxn*2]; 20 map<int,int>next; 21 map<pair<int,int>,int>cost; 22 set<pair<int,int> >eS; 23 pt rotate(pt A,double ra){return pt(A.x*cos(ra)-A.y*sin(ra),A.x*sin(ra)+A.y*cos(ra),A.pos);} 24 pt wait[maxn]; 25 bool cmp(pt A,pt B) 26 { 27 double r1=atan2(A.y,A.x); 28 double r2=atan2(B.y,B.x); 29 if(r1<0)r1+=2*pi; 30 if(r2<0)r2+=2*pi; 31 return r1<r2; 32 } 33 struct edge{ll to,next,from,w,bel;}; 34 struct graph 35 { 36 int head[maxn*2],size; 37 graph(){size=1;} 38 edge E[maxn*2]; 39 void add(int u,int v,ll w) 40 { 41 E[++size].to=v; 42 E[size].next=head[u]; 43 E[size].w=w; 44 E[size].from=u; 45 head[u]=size; 46 } 47 void sortAngle(pt A,pt B,int r,int num)//suppose that A is the centre 48 { 49 B=B-A; 50 double ra=-atan2(B.y,B.x); 51 B=rotate(B,ra); 52 for(int i=1;i<=r;++i)wait[i]=rotate(wait[i]-A,ra); 53 sort(wait+1,wait+r+1,cmp); 54 next[num]=wait[1].pos; 55 for(int i=1;i<r;++i) 56 next[wait[i].pos^1]=wait[i+1].pos; 57 next[wait[r].pos^1]=num^1; 58 } 59 void sortAll() 60 { 61 for(int i=2;i<=size;++i) 62 { 63 if(next[i]==0) 64 { 65 int L=0; 66 for(int j=head[E[i].to];j;j=E[j].next) 67 { 68 if(E[j].to==E[i].from)continue; 69 wait[++L]=p[E[j].to]; 70 wait[L].pos=j; 71 } 72 sortAngle(p[E[i].to],p[E[i].from],L,i); 73 } 74 } 75 } 76 void dfs(int i,int pos) 77 { 78 ans+=v[E[i].to][0]; 79 ans+=v[E[i].to][1]; 80 vis[i]=1; 81 E[i].bel=pos; 82 val[pos][0]+=v[E[i].to][0]; 83 val[pos][1]+=v[E[i].to][1]; 84 i=next[i]; 85 if(vis[i])return; 86 dfs(i,pos); 87 } 88 void getVal() 89 { 90 sortAll(); 91 for(int i=2;i<=size;++i) 92 if(!vis[i]) 93 { 94 ++cur; 95 dfs(i,cur); 96 } 97 } 98 bool bfs() 99 { 100 for(int i=0;i<=T;++i)dfn[i]=-1; 101 dfn[S]=0; 102 queue<int>Q; 103 Q.push(S); 104 while(Q.size()) 105 { 106 int u=Q.front(); 107 Q.pop(); 108 for(int i=head[u];i;i=E[i].next) 109 { 110 int v=E[i].to; 111 if(dfn[v]!=-1||E[i].w==0)continue; 112 dfn[v]=dfn[u]+1; 113 Q.push(v); 114 } 115 } 116 return dfn[T]!=-1; 117 } 118 ll dinic(int u,ll up) 119 { 120 if(u==T)return up; 121 ll sum=0; 122 for(int i=head[u];i;i=E[i].next) 123 { 124 int v=E[i].to; 125 if(dfn[v]!=dfn[u]+1||E[i].w==0)continue; 126 ll g=dinic(v,min(E[i].w,up-sum)); 127 E[i].w-=g; 128 E[i^1].w+=g; 129 sum+=g; 130 if(g==0)dfn[v]=-1; 131 if(sum==up)break; 132 } 133 return sum; 134 } 135 }G,flow; 136 int main() 137 { 138 freopen("everfeel.in","r",stdin); 139 freopen("everfeel.out","w",stdout); 140 ios::sync_with_stdio(false); 141 cin>>n>>n>>m; 142 for(int i=1;i<=n;++i) 143 cin>>p[i].x>>p[i].y>>v[i][0]>>v[i][1]; 144 for(int i=1;i<=m;++i) 145 { 146 cin>>x>>y>>z; 147 G.add(x,y,z); 148 G.add(y,x,z); 149 } 150 G.getVal(); 151 S=0; 152 T=cur+1; 153 for(int i=2;i<=G.size;i+=2) 154 { 155 pair<int,int>P=make_pair(G.E[i].bel,G.E[i^1].bel); 156 cost[P]+=G.E[i].w; 157 eS.insert(P); 158 } 159 for(set<pair<int,int> >::iterator pos=eS.begin();pos!=eS.end();++pos) 160 { 161 flow.add(pos->first,pos->second,cost[*pos]); 162 flow.add(pos->second,pos->first,cost[*pos]); 163 } 164 for(int i=1;i<=cur;++i) 165 { 166 flow.add(S,i,val[i][0]); 167 flow.add(i,S,0); 168 flow.add(i,T,val[i][1]); 169 flow.add(T,i,0); 170 } 171 ll sum=0; 172 while(flow.bfs())sum+=flow.dinic(S,inf); 173 cout<<ans-sum<<endl; 174 return 0; 175 } View Code 要數(shù)據(jù)請聯(lián)系。

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總結(jié)

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