一、什么是齊次坐標(biāo)和齊次坐標(biāo)系

齊次坐標(biāo)

齊次坐標(biāo)是一個(gè)相機(jī)標(biāo)定問(wèn)題的關(guān)鍵理論之一，所以就此問(wèn)題分析一下。
單從定義上來(lái)講，齊次坐標(biāo)（投影坐標(biāo)）就是用N+1維來(lái)代表N維坐標(biāo)（點(diǎn)和向量），也可說(shuō)用齊次坐標(biāo)來(lái)表示笛卡爾坐標(biāo)，具體的數(shù)學(xué)表達(dá)式可以這樣寫(xiě)：
在直角坐標(biāo)系點(diǎn)坐標(biāo)（x,y）末尾加上一個(gè)額外的變量w，一個(gè)點(diǎn)(X,Y)在齊次坐標(biāo)里面變成了（x,y,w），并且有
X = x/w
Y = y/w
這也就解決了笛卡爾坐標(biāo)系無(wú)法表示無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的問(wèn)題，按照人的視覺(jué)，兩條平行線在無(wú)窮遠(yuǎn)處會(huì)相交，采用直角坐標(biāo)系無(wú)法對(duì)這一現(xiàn)象進(jìn)行描述，而當(dāng)w趨近于0時(shí)，(X,Y)趨向無(wú)窮大，其齊次坐標(biāo)就可表示為(x,y,0)，解決了這一問(wèn)題。

于此同時(shí)衍生了另外一個(gè)問(wèn)題，笛卡爾坐標(biāo)和齊次坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的問(wèn)題：
(1) 笛卡爾坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成齊次坐標(biāo)，需要考慮坐標(biāo)是點(diǎn)還是向量的問(wèn)題，如果(x,y)是個(gè)點(diǎn)，就可變?yōu)?x,y,1)；而如果(x,y)是個(gè)向量，則變?yōu)?x,y,0)
(2) 齊次坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成笛卡爾坐標(biāo)，如果是(x,y,2)，則其笛卡爾坐標(biāo)為(x/2,y/2);
如果是(x,y,0)，其笛卡爾坐標(biāo)仍為(x,y)。
齊次坐標(biāo)（針對(duì)二維）因此有如下定義：

投影平面上的任何點(diǎn)都可以表示成 (X, Y, Z)，稱之為該點(diǎn)的’齊次坐標(biāo)或投影坐標(biāo)，其中 X、Y 及 Z 不全為 0。

以齊次坐標(biāo)表表示的點(diǎn)，若該坐標(biāo)內(nèi)的數(shù)值全乘上一相同非零實(shí)數(shù)，仍會(huì)表示該點(diǎn)。

相反地，兩個(gè)齊次坐標(biāo)表示同一點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)其中一個(gè)齊次坐標(biāo)可由另一個(gè)齊次坐標(biāo)乘上一相同非零常數(shù)得取得。

當(dāng) Z 不為 0，則該點(diǎn)表示歐氏平面上的 (X/Z, Y/Z)。

當(dāng) Z 為 0，則該點(diǎn)表示一無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)。

三元組 (0, 0, 0) 不表示任何點(diǎn)。原點(diǎn)表示為 (0, 0, 1)。

齊次坐標(biāo)系

那怎么從空間上去理解齊次坐標(biāo)系呢？
有個(gè)說(shuō)法挺有意思，我們想象在宇宙中有一個(gè)絕對(duì)坐標(biāo)系，對(duì)于我們現(xiàn)在使用的笛卡爾坐標(biāo)系，其原點(diǎn)位于(0,0)點(diǎn)，當(dāng)然同時(shí)也就還有無(wú)數(shù)的相同的坐標(biāo)系，只不過(guò)它們的原點(diǎn)不同，對(duì)于笛卡爾坐標(biāo)系中的點(diǎn)（x,y），它對(duì)于所有的笛卡爾坐標(biāo)系都是相同的，有點(diǎn)多維宇宙的感覺(jué)，其中一個(gè)坐標(biāo)系就是一個(gè)宇宙。

二、齊次坐標(biāo)的作用

看了不少文章，基本都有這么一句話來(lái)概況其作用：齊次坐標(biāo)表示是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的重要手段之一，它既能夠用來(lái)明確區(qū)分向量和點(diǎn)，同時(shí)也更易用于進(jìn)行仿射（線性）幾何變換。
齊次坐標(biāo)在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中有重要應(yīng)用，可以用來(lái)區(qū)分向量和點(diǎn)，上面已經(jīng)解釋了點(diǎn)和向量的區(qū)別問(wèn)題，其仿射變換主要應(yīng)用如下：

2.1 "平移矩陣"擴(kuò)展為3維

在圖像處理時(shí)，經(jīng)常會(huì)對(duì)圖像進(jìn)行平移操作，就會(huì)采用矩陣的形式進(jìn)行計(jì)算。通過(guò)對(duì)坐標(biāo)點(diǎn)進(jìn)行齊次變換，可以將平移矩陣用3維方式進(jìn)行表達(dá),可以。
平移可表示為：
$\left[\begin{array}{c}x2\\ y2\end{array}\right]$=$\left[\begin{array}{c}x1\\ y1\end{array}\right]$+$\left[\begin{array}{c}x0\\ y0\end{array}\right]$
齊次變換后：
$?\begin{array}{c}x2\\ y2\\ 1\end{array}?$=$?\begin{array}{ccc}1& 0& x0\\ 0& 1& y0\\ 0& 0& 1\end{array}?$*$?\begin{array}{c}x1\\ y1\\ 1\end{array}?$

2.2 旋轉(zhuǎn)，縮放

旋轉(zhuǎn)
對(duì)一個(gè)點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，用矩陣的形式表達(dá)為：



縮放

參考文章：
關(guān)于齊次坐標(biāo)系的理解
齊次坐標(biāo)的理解
齊次坐標(biāo)變換

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的相机标定（一） —— 深入理解齐次坐标及其作用的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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