題目一：給出一個n,代表有從1到n的數字[1,2,3,··· n]，問可以構成多少種二叉搜索樹？

一開始的想法是直接遞歸構造，時間復雜度是指數上升；
后來想法是找規律：
先看例子：

n = 1, 有一個元素,可以構成一個二叉搜索樹,左右都沒有元素，總數量 = 左子樹數量 右子樹數量，記為f(1) = f(0) f(0) = 1，這兒可以將f(0)初始化為1;
n = 2, 1做根，那么左子樹沒有元素記為f(0),右子樹有一個元素記為f(1), 2做根，左子樹有一個元素，記為f(1),右子樹沒有元素記為f(0);
總共：f(2) = f(0) f(1) + f(1) f(0) = 2;
n = 3, 1做根，數量 = f(0) f(2), 2做根 數量 = f(1) f(1), 3做根， 數量 = f(2) f(0);
總共 f(3) = f(0) f(2) + f(1) f(1) + f(2) f(0) = 5;
可以看出f(n),依賴與f(0)到f(n-1),換句話說可以有前面的n-1項推導出第n項；
分析關系表達式：
記h(k)為以k為根可以生成的二叉搜索樹數量；
當以k為根時，他的左子樹為[1,2 ··· k-1]構成，也就是左子樹有k-1個元素構成，這個就可以記為f(k-1)；
右子樹為[k+1 ··· n]構成，也就是右子樹有n-k個元素構成，這個可以記為f(n-k)；
那么h(k) = f(k-1) * f(n-k); 要記得k的范圍可以從1到n;
整合以上規律可得到：有n個元素的二叉搜索樹的數量；f(n) = h(1)+h(2)+···+h(n) = ∑ h(k) ,0 < k <= n;
又因為h(k) = f(k-1) f(n-k)得到：f(n) = ∑ f(k-1) f(n-k); 0 < k <= n;
代碼：輸入n，輸出可以構造出的二叉搜索樹的數量；
時間復雜度O(n^3)；

private static int BSCount(int n) {int[] res = new int[n+1];res[0] = 1;for(int i = 1; i<=n; i++) {for(int k=1; k<=i; k++) {res[i] += res[k-1] * res[i-k]; // System.out.println(i + " k:" + k +" " + res[i]);}}return res[res.length-1];}

　　注釋：第一個循環用來控制根節點肯能出現的情況。因為這是一個遞歸表達式，第二個循環是用來控制計算以當下值為根節點的時候，所以依賴的前面表達式的值是多少。

　　　　　　比如計算以當n3的時候，需要計算一下三種情況：

　　　　　　　　　　res[3]+=res[0]*res[2]　　(以1為根節點時)

　　　　　　　　　　res[3]+=res[1]*res[1]　　(以2為根節點時)

　　　　　　　　　　res[3]+=res[2]*res[0]　　(以3為根節點時)

　　　　　　那么，這些表達式中的res[1]和res[2]需要提前計算。這個是由第二個循環來完成的。

轉載于:https://www.cnblogs.com/lyr2015/p/10147906.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的题目一：给出一个n,代表有从1到n的数字[1,2,3,··· n]，问可以构成多少种二叉搜索树？...的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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