一、基本信號

1.1信號的分類

????????1.1.1確定性信號和隨機信號

????????????????對任意時刻，信號有確定的函數值，稱為確定性信號。信號的取值在不同時刻隨機變化則成為隨機信號。

????????1.1.2周期信號與非周期信號

? ????????????????按某一固定周期重復出現的信號，可表示為，其中T的取值為R。例如無電阻損耗的理想LC電路的自然響應。

????????1.1.3連續時間信號與離散時間信號

????????????????連續時間信號：在所有連續時間值上均有定義，簡稱為連續信號或模擬信號。

????????????????離散時間信號：僅在一些離散時間點上才有定義，簡稱為離散信號。

????????1.1.4因果信號與非因果信號

????????????????因果信號：在時，,則稱為因果信號。無記憶系統屬于因果信號。

????????????????非因果信號：周期信號均為非因果信號。

1.2常用的基本信號

????????1.2.1直流信號

????????????????,屬于非因果信號。

????????1.2.2正弦信號

????????????????

????????1.2.3單位階躍信號

?????????????????

????????1.2.4斜坡信號

????????????????

????????1.2.5實指數信號

????????????????,屬于因果信號

????????1.2.6復指數信號

????????????????,若，則f(t)為虛指數信號，若,則f(t)為實指數。

????????????????根據歐拉公式，復指數信號又可表示為：

????????1.2.7降正弦函數

? ? ? ??????????

? ? ? ????????? 特點：（1）Sa(t)是偶函數；

? ? ? ? ? ? ? ? ????????? ?（2）當t=0時，Sa(t)為最大值1；

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????????（3）曲線呈震蕩衰減，取無窮大時極限為0;

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????????（4）;

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????????（5）sinc(t)的定義：;

1.3信號的基本處理

????????1.3.1相加與相乘

? ? ? ? ????????相加

????????????????相乘

????????1.3.2反轉與延時

? ? ? ????????? 將自變量t換成-t可得到另一個函數f(-t)，稱為信號的反轉；

? ? ? ? ????????將自變量t換成,為正的實常數，可得新信號.

????????1.3.3壓縮與擴展

? ? ? ?????????? 將自變量t換成at可得到另一個函數f(at),a為正實數，則信號f(t)將在時間尺度上壓縮或擴展。

????????1.3.4微分與積分

? ? ? ????????? f(t)的一階導數：

????????????????f(t)的二階導數：

? ? ? ????????? f(t)的積分表示：

1.3單位沖激函數

????????1.3.1沖激函數的定義

? ? ? ? 沖激函數是一個奇異函數，定義為,解釋為在0這一刻瞬間出現又立即消失的信號，且幅值無限大；在其他時刻始終為0.

? ? ? ? 階躍信號與沖激信號的確切關系：單位沖激信號的積分為單位階躍信號，單位階躍信號的導數應為單位沖激信號。

? ? ?單位沖激函數：? ?；;

????????1.3.2沖激函數的性質

? ? ? ? 1.是偶函數:

? ? ? ? 2.具有取樣性；

二、傅里葉級數

2.1傅里葉級數

????????給定一個周期為T的函數x(t)，當周期信號滿足狄里赫利條件時，可用傅里葉級數表示。

????????狄里赫利條件：(1)在單個周期內只有有限個極大值和極小值，且只有有限個第一類不連續點;

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(2)在單個周期內絕對可積，即.

????????表示為無窮級數：;

? ? ? ? 基波頻率為，基波周期.

? ? ? ? 基波分量：合在一塊稱為基波分量或一次諧波分量。

2.2傅里葉級數的表示形式

????????2.1.1三角級數表示

? ? ? ? ???????? 三角形式：??;

????????????????其中為基波角頻率，稱為n次諧波的頻率；為直流分量。

? ? ? ? ????????系數求解：?????

???????????????????

? ? ? ? ? ? ? ? 系數的求解思路：可直接使用在單個周期內進行積分，因為cos與sin在周期內積分為0，、則可以利用三角函數的正交性進行求解，直接乘以,除自身外都可以正交積分為0，?直接乘以,除自身外都可以正交積分為0.

? ? ? ????????? 傅里葉級數又可表示為余弦實函數：;

????????????????其中?;.

????????2.1.2復指數級數表示

? ? ? ? ????????使用歐拉公式將三角形式轉換成復指數形式，即

????????????????

? ? ? ? ????????化簡后則有,

????????????????令,由

????????????????可知，

????????????????可得，

????????????????可化簡為

????????????????其系數為.

? ? ? ??????????可視為各次諧波的函數，可表示為,為各次諧波的幅度，為其相位。

????????????????每對頻率項可合成一個余弦實數項，即.各諧波振幅為.

三、傅里葉變換

3.1傅里葉變換

????????3.1.1 傅里葉變換的定義

????????傅里葉變換是一種分析信號的方法，它可分析信號的成分，也可用這些成分合成信號。許多波形可作為信號的成分，比如正弦波、方波、鋸齒波等，傅里葉變換用正弦波作為信號的成分。

????????3.1.2傅里葉變換的分類

????????非周期性連續信號傅里葉變換（Fourier Transform）

????????周期性連續信號傅里葉級數(Fourier Series)

????????非周期性離散信號離散時域傅里葉變換（Discrete Time Fourier Transform）

????????周期性離散信號離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform)

????????3.1.3傅里葉級數到傅里葉變換

? ? ? ? 正變換的推導：

????????已知復指數形式的周期信號有以下關系：；

? ? ? ? 而??可視為離散值的函數，則

? ? ? ? 當時，譜線高度和譜線間隔趨于無窮小，則可用代替，變為連續變量，且;

? ? ? ? 即可推導出；同時,可見相當于單位頻率所占的幅度，具有密度的意義，一般情況下為連續譜。

? ? ? ? 反變換的推導：

? ? ? ? ?根據上面的公式可得又可表示為：,再代入到與的表達式中可得，同時將換成，求和變成積分

????????可得：

?????????3.1.4連續傅里葉變換的正反變換

? ? ? ? 正變換：;

? ? ? ? 反變換：;

????????3.1.5離散傅里葉變換的正反變換

? ? ? ? 正變換：

? ? ? ? 反變換：

????????3.1.6的復指數表現形式

? ? ? ? 頻譜函數一般為的復函數，則可將記為,則可寫成;

????????為幅度頻譜，是偶函數，為相位頻譜，是奇函數；

????????;

? ? ? ? 其中；

? ? ? ?可得??；;

3.2常用信號的傅里葉變換

? ? ? ? 3.2.1門信號的傅里葉變換

? ? ? ? ? ? ? ? 門函數：幅度為1，寬度為的單個矩形脈沖，記為;

????????????????;

? ? ? ? ? ? ? ? 令,則頻譜為;

????????3.2.2沖激信號的傅里葉變換

? ? ? ? ? ? ? ??,有變換對,可見沖激信號的頻譜為均勻譜。

????????3.2.3直流信號的傅里葉變換

? ? ? ? ? ? ? ? 設直流信號,則有,可推出;即;

????????3.2.4指數信號的傅里葉變換

? ? ? ? ? ? ? ? 設單邊指數信號為,;

? ? ? ? ? ? ? ? 變換對：;

????????3.2.5符號信號的傅里葉變換

? ? ? ? ? ? ? ? 符號函數定義為：,由于不滿足絕對可積條件，所以只能視為雙邊指數函數在0這一點的極限，即,則頻譜為;

????????3.2.6階躍信號的傅里葉變換

? ? ? ? ? ? ? ? 單位階躍函數可以用直流信號和符號函數表示為：,頻譜可化為;

3.3傅里葉變換的性質

? ? ? ? 3.3.1線性性質

? ? ? ? ? ? ? ? 因為傅里葉變換本身就是線性變換，所以滿足線性關系。

? ? ? ? 3.3.2脈沖展縮與頻帶變化

? ? ? ? ? ? ? ? 已知，則，表明了信號時域波形的壓縮，對應其頻譜圖形的的擴展；信號時域波形的擴展對應其頻譜圖形的壓縮，且展縮倍數一致。

? ? ? ? 3.3.3延時與相位移動

? ? ? ? ? ? ? ??延時后，其對應的幅度頻譜保持不變，但相位頻譜中所有分量的相位均滯后.

? ? ? ? 3.3.4調制與頻譜搬移

? ? ? ? ? ? ? ? 調制：乘以將信號抬升至高頻區間；

? ? ? ? ? ? ? ? 解調：乘以將信號搬移到低頻區間；

? ? ? ? ? ? ? ? 頻譜搬移：

? ? ? ? 3.3.5時-頻對稱性

? ? ? ? ? ? ? ? 信號的時域變化與其頻譜特性之間存在一定的對稱性，若，則有;它表明了若函數的頻譜為,則時間信號對應的頻譜為;

? ? ? ? 3.3.6卷積定理

????????????????,時域的卷積對應頻域函數的相乘；

????????????????,時域相乘對應頻域卷積。

? ? ? ? 3.3.7時域微分

????????????????若，則有;推廣可得

? ? ? ? 3.3.8時域積分

????????????????若，則有;

四、拉普拉斯變換

4.1拉普拉斯變換

????????4.1.1拉普拉斯變換的定義

? ? ? ? ? ? ? ? 拉普拉斯正變換的推導：已知傅里葉變換為，乘以收斂因子,為實常數，則有;

????????????????令復頻率,則有,稱為信號的雙邊拉普拉斯變換，簡稱雙邊拉氏變換。

? ? ? ? ? ? ? ? 拉普拉斯反變換的推導：，利用了傅里葉變換的頻譜搬移性質。再同乘以，可得,因為，且為實常數，則有,當時，有,從而

????????4.1.2傅里葉到拉普拉斯

? ? ? ? ? ? ? ? 由于傅里葉變換需要滿足狄里赫利條件，但大部分函數都是不滿足其絕對可積條件的，所以采用一個衰減函數使其滿足其絕對可積。

4.2常用信號的拉普拉斯變換

?

4.3拉普拉斯變換的性質

? ? ? ? 4.3.1線性性質

? ? ? ? ? ? ? ? 滿足可加性與齊次性：

? ? ? ? 4.3.2延時性質

????????????????

? ? ? ? ? ? ? ? 從t=0開始的周期信號的拉氏變換等于其第一周期波形的拉氏變換乘以;

? ? ? ? ? ? ? ? 即

? ? ? ? 4.3.3微分定理

? ? ? ? ? ? ? ? 若,則有;;

? ? ? ? ? ? ? ? 若為有始函數，則,則有.

? ? ? ? 4.3.4積分定理

????????????????若,;

? ? ? ? 4.2.5卷積定理

????????????????

? ? ? ? 4.2.6初值與終值定理

? ? ? ? ? ? ? ? 若信號在0處不含沖激函數，則初值定理為，中值定理為.

五、附錄

5.1.1傅里葉變換的性質

5.1.2周期信號的傅里葉變換

5.1.3非周期信號的傅里葉變換

總結

以上是生活随笔為你收集整理的傅里叶变换与拉普拉斯变换的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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