題意 :?有 n 種面額的硬幣，給出各種面額硬幣的數(shù)量和和面額數(shù)，求最多能搭配出幾種不超過 m 的金額？

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分析 :

這題可用多重背包來解，但這里不討論這種做法。

如果之前有接觸過背包DP的可以自然想到DP數(shù)組的定義 ==> dp[i][j] 表示使用前 i 種硬幣是否可以湊成面額 j 。

根據(jù)這樣的定義，則一開始初始化 dp[0][0] = true 最后統(tǒng)計(jì) dp[n][1 ~ m] 為 true 的數(shù)量即為答案

狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為 dp[i][j] |= dp[i-1][ j - k*val[i] ] ( k 表示取 k 個第 i 種硬幣、val[i] 表示第 i 種硬幣的面額 )

轉(zhuǎn)移方程的意義不難理解，需要考慮當(dāng)前的 dp[i][j] 可以從哪些狀態(tài)轉(zhuǎn)移而來，如下

使用第 i 種硬幣剛好湊成 j 的值應(yīng)當(dāng)為上個狀態(tài)( dp[i-1][] )合法的 j-val[i]、j-2*val[i]、j-3*val[i]....

故代碼應(yīng)當(dāng)為一個如下所示的三重循環(huán)，但是復(fù)雜度較高無法通過這題.....

#include<stdio.h> #include<algorithm> #include<string.h> using namespace std; const int maxn = 111;bool dp[maxn][100005]; int num[maxn], val[maxn];int main(void) {int N, C;while(~scanf("%d %d", &N, &C) && !(N==0 && C==0)){for(int i=1; i<=N; i++) scanf("%d", &val[i]);for(int i=1; i<=N; i++) scanf("%d", &num[i]);memset(dp, false, sizeof(dp));dp[0][0] = true;for(int i=1; i<=N; i++){for(int j=0; j<=C; j++){for(int k=0; k<=num[i] && k*val[i]<=j; k++){dp[i][j] |= dp[i-1][j-k*val[i]];}}}printf("%d\n", count(dp[N]+1, dp[N]+C+1, true));}return 0; } View Code

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通常使用 dp 數(shù)組只記錄布爾值是種浪費(fèi)的做法，一般就去考慮在保證正確性的情況下改變 dp 含義記錄更多信息去降低復(fù)雜度！

現(xiàn)將 dp 含義改變?yōu)?==> dp[i][j] 表示用前 i 種硬幣湊成 j 時第 i 種硬幣最多還可以剩多少

挑戰(zhàn)書上是直接給出了定義，但是我更樂于探尋這玩意是什么來的？ 注：以下都是我自己的想法

想想上面的解法，好像會發(fā)現(xiàn)其實(shí)如果我當(dāng)前考慮過 dp[i][j] = true 了，那么 dp[i][j+val[i]]、dp[i][j+2*val[i]]、dp[i][j+3*val[i]]... 應(yīng)該都為 true?

而枚舉 j 的順序也恰好是從小到大，所以必定會枚舉到 dp[i][j+val[i]]、dp[i][j+2*val[i]]...，所以何不寫成如下這樣

for(int i=1; i<=N; i++){for(int j=0; j<=C; j++){dp[j] |= dp[j-val[i]];} }

運(yùn)行了樣例之后發(fā)現(xiàn)這樣的做法得出的答案比標(biāo)準(zhǔn)答案更大！為什么？因?yàn)檫@樣的做法沒有考慮到數(shù)量，一種硬幣的數(shù)量是有限的

所以當(dāng) j+k*val[i] 的 k 超過了規(guī)定數(shù)量的時候就會發(fā)生錯誤，使得一些本該為 false 的 dp 數(shù)組值變成了 true，所以我們需要記錄數(shù)量！

復(fù)雜度為 O(n*m) 在 POJ 上跑了 2016MS

#include<stdio.h> #include<algorithm> #include<string.h> using namespace std; const int maxn = 111;int dp[100005]; int num[maxn], val[maxn];bool fun(int x) { if(x>=0) return true; return false; }int main(void) {int N, C;while(~scanf("%d %d", &N, &C) && !(N==0 && C==0)){for(int i=1; i<=N; i++) scanf("%d", &val[i]);for(int i=1; i<=N; i++) scanf("%d", &num[i]);memset(dp, -1, sizeof(dp));dp[0] = 0;for(int i=1; i<=N; i++){for(int j=0; j<=C; j++){if(dp[j] >= 0) dp[j] = num[i];else if(j < val[i] || dp[j-val[i]] <= 0) dp[j] = -1;else dp[j] = dp[j-val[i]] - 1;}}printf("%d\n", count_if(dp+1, dp+1+C, fun));}return 0; } View Code

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的POJ 1742 Coins ( 经典多重部分和问题 DP || 多重背包 )的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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