Nim游戲：　

? ?1. 一個狀態(tài)是必敗狀態(tài)當且僅當它的所有后繼都是必勝狀態(tài)。

　2. 一個狀態(tài)是必勝狀態(tài)當且僅當它至少有一個后繼是必敗狀態(tài)。

對于Nim游戲來說，早有科學家給出了一個定理（Bouton定理）：狀態(tài)（x1,x2.....xn）為必敗狀態(tài)當且僅當x1^x2^......^xn= 0，即把所有數進行異或和操作，也稱Nim sum。【能夠證明，當Nim sum為0 時為必敗狀態(tài)，非0 時為必勝狀態(tài)，這是因為，當前狀態(tài)為0 時，進行的某個操作總能使Nim sum變?yōu)榉?（因為改變任何一個數字（即任何一堆石子），它的二進制形式會有一位或多位的變化，此時原本各位上都為0 的Nim sum就會有所變動（某些位會變成1）），即所有后繼都是必勝狀態(tài)了；當前狀態(tài)為非0 時，必定會有某個操作能使Nim sum變?yōu)?（只需在Nim sum二進制上那些為1的位上面著手即可），即一定有一個后繼狀態(tài)為必敗態(tài)。這就是Bouton定理。】

Bouton定理實質上是SG定理的具體應用。什么是SG定理呢？

SG定理：

Sprague-Grundy定理（SG定理）：游戲和的SG函數等于各個游戲SG函數的Nim和。這樣就可以將每一個子游戲分而治之，從而簡化了問題。而Bouton定理就是Sprague-Grundy定理在Nim游戲中的直接應用，因為單堆的Nim游戲 SG函數滿足 SG(x) = x。

對于SG定理：

首先定義mex(minimal excludant)運算，這是施加于一個集合的運算，表示最小的不屬于這個集合的非負整數。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。

這一步應該是非常簡單的，就是定義了新的運算為mex。

對于任意狀態(tài) x ， 定義 SG(x) = mex(S)，其中S是 x 后繼狀態(tài)的SG函數值的集合（就是上述mex中的數值）。最后返回值（也就是SG(X)）為0為必敗點，不為零必勝點。

進一步解釋一下S，就是題意中給出的可以移動的次數。舉個例子來說，一堆石子，每次只能拿1，3，5，7個，那么S數組就是1，3，5，7。

假如說是在一個游戲中有多個石子堆該怎么辦了。我們只需要把對每個石子堆進行sg函數的調用，將得到的所有的值進行異或。得出來的結果為0則該情形為必敗態(tài)。否則為必勝態(tài)。

#include<cstdio> #include <iostream> #include <cstring> using namespace std; const int MAX_N = 100; int sg[MAX_N];//sg函數 bool vis[MAX_N];//標記數組void solve(int n) {memset(vis, false, sizeof(vis));for (int i = 0; i < n; ++i)vis[sg[i]] = true;for (int i = 1; i <= n; ++i)//因為可以分成兩堆，如果三堆，就寫三重循環(huán)for (int j = 1; j <= n; ++j) {if (i + j == n) vis[sg[i] ^ sg[j]] = true;}int i;for (i = 0; ; ++i)//沒有i < n，如果都不成立，最后i = nif (!vis[i]) break;sg[n] = i;cout << "sg[" << n << "]=" << i << endl; }

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的博弈——sg函数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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