在之前的博客中我主要介紹了幾種常見的博弈論，那些都比較固定，當我們遇到一些新型的博弈問題時，未必可以用之前的模型去解決他，現在我就來介紹一種工具來解決規則比較奇怪的博弈游戲。

先來說一下可以用SG函數解決的問題所需要滿足的條件：

（1）游戲人數為兩人

（2）兩人交替進行某種游戲規定的操作，每次操作，選手都可以在當前合法的操作中選取一種

（3）對于游戲的任意一種可能的局面，合法的操作集合只取決于這個局面的本身，而與操作者無關

就拿巴什博弈舉例，每個操作者每次都可以拿走1~m塊石頭，每次拿走石頭的個數取決于當前還剩多少塊石頭，而與之前的操作無關，這就是一個可以利用SG函數來解決的問題。

下面來對P-position（必敗點）和N-position（必勝點）來作下解釋：

處在必勝點的選手如果不出現決策上的失誤，則選手是必勝的，同理，處在必敗點的選手是必敗的。

依舊拿巴什博弈舉例，假如一開始給定m+2塊石頭，每次可以取1~m塊石頭，則先手必勝，所以m+2也就是一個必勝點，若一開始給定m+1塊石頭，則無論先手第一次取幾塊石頭，后手都可以一次性取完剩余的石頭，所以m+1是一個必敗點。

必敗點和必勝點滿足的性質：

（1）終結點是必敗點

（2）可以進行一次操作到達必敗點的為必勝點

（3）從必敗點只能到達必勝點

介紹SG函數前先介紹一下mex函數，表示最小的不屬于這個集合的非負整數，比如mex{0,1,3,4}=2,mex{1，2，3}=0;

任何一個可以用SG函數解決的問題都可以抽象成一個有向圖游戲，SG函數是用于為這種有向圖游戲提供最優策略的。（SG(x)=0代表x為必敗態，SG（x）!=0代表x為必勝態）

對于給定游戲規則下的有向無環圖，定義SG（x）=mex{SG(y) | y是x的后繼}

容易知道終止狀態的SG值一定是0，對于一個x滿足SG(x)=0,則對于x的所有后繼（經過一次操作可到達的狀態）y一定有SG（y）!=0,類似的，對于一個x滿足SG(x)！=0,則對于x的所有后繼y均有SG（y）==0。

頂點SG值的意義：

當SG（x）=k時，表明對于任何一個0<=i<k,都存在x的一個后繼y滿足SG(y)=i。

下面給出常見博弈論的解題方法：
把原問題按照游戲規則的差別分解成多個獨立的子游戲，并計算每個子游戲下的SG值，最后求出所有子游戲的SG值的異或

最后給出SG值的計算方法：

（1）若可選步數為1~m的連續整數（巴什博弈），則SG（x）=x%(m+1)

（2）若可選步數為任意步，則SG（x）=x

（3）剩余的情況只能具體問題具體分析了，下面給出求SG的函數模板

打表計算SG值

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<iostream> #include<queue> using namespace std; const int N=1e3+10;//具體數據 int f[N],sg[N],vis[N]; //f[]記錄可以進行的操作（比如取走多少個石子） //sg[]記錄每種狀態的sg值 //vis[x]用于標記出現過的x的后繼的sg值 void SG(int n) {memset(sg,0,sizeof sg);//0是終止狀態（必敗態），所以sg[0]一定為0 for(int i=1;i<=n;i++){memset(vis,0,sizeof vis);for(int j=1;f[j]<=i;j++)vis[sg[i-f[j]]]=1;//i-f[j]是狀態i進行一次操作可以到達的狀態 for(int j=0;j<=n;j++)//求解i的后繼的sg值中未出現的最小自然數 {if(!vis[j]){sg[i]=j;break;}} } }

dfs計算SG值

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<iostream> #include<queue> using namespace std; const int N=1e3+10;//具體數據 int f[N],sg[N],vis[N]; //f[]記錄可以進行的操作（比如取走多少個石子） //sg[]記錄每種狀態的sg值 //vis[x]用于標記出現過的x的后繼的sg值 int SG(int x) {//因為sg值可能取到1，所以應該初始化sg數組為-1 if(sg[x]!=-1) return sg[x];memset(vis,0,sizeof vis);for(int i=0;i<n;i++){if(x>=f[i]){SG(x-f[i]);vis[sg[x-f[i]]]=1;}}int e;for(int i=0;;i++){if(!vis[i]){e=i;break;}}return sg[x]=e; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的SG函数详解的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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