慣例先引入一些概念：（概念來自于網絡）

有向圖游戲：
給定一個有向無環圖，圖中有一個唯一的起點，在起點上放有一枚棋子。兩名玩家交替地把這枚棋子沿有向邊進行移動，每次可以移動一步，無法移動者判負。該游戲被稱為有向圖游戲。

任何一個公平組合游戲都可以轉化為有向圖游戲。具體方法是，把每個局面看成圖中的一個節點，并且從每個局面向沿著合法行動能夠到達的下一個局面連有向邊。

Mex運算： 設S表示一個非負整數集合。定義mex(S)為求出不屬于集合S的最小非負整數的運算，即： mex(S) = min{x},
x屬于自然數，且x不屬于S。

SG函數： 在有向圖游戲中，對于每個節點x，設從x出發共有k條有向邊，分別到達節點y1, y2, …,
yk，定義SG(x)為x的后繼節點y1, y2, …, yk 的SG函數值構成的集合再執行mex(S)運算的結果，即： SG(x) =
mex({SG(y1), SG(y2), …, SG(yk)})
特別地，整個有向圖游戲G的SG函數值被定義為有向圖游戲起點s的SG函數值，即SG(G) = SG(s)。

定理：
有向圖游戲的某個局面必勝，當且僅當該局面對應節點的SG函數值大于0。
有向圖游戲的某個局面必敗，當且僅當該局面對應節點的SG函數值等于0。

用圖片舉個例子

各個結點表示一種局面，紅色的數字表示該局面的SG函數的值，具體的數值大小可以由Mex函數得到，當先手面臨SG函數值為0的結點時必敗，否則必勝，因為只要結點值不為0就一定存在下一步可以走到結點值為0的結點。（只有存在下一步結點值為0的情況當前結點才不為0）。

來道例題理解：

給定n堆石子以及一個由k個不同正整數構成的數字集合S。
現在有兩位玩家輪流操作，每次操作可以從任意一堆石子中拿取石子，每次拿取的石子數量必須包含于集合S，最后無法進行操作的人視為失敗。
問如果兩人都采用最優策略，先手是否必勝。
輸入格式
第一行包含整數k，表示數字集合S中數字的個數。
第二行包含k個整數，其中第i個整數表示數字集合S中的第i個數si。
第三行包含整數n。
第四行包含n個整數，其中第i個整數表示第i堆石子的數量hi。
輸出格式
如果先手方必勝，則輸出“Yes”。
否則，輸出“No”。

數據范圍
1≤n,k≤1001≤n,k≤100,
1≤si,hi≤10000

輸入樣例：
2
2 5
3
2 4 7

輸出案例
Yes

大意：給定n堆石子，每次只能取任意堆石子里的指定個數，問先手必勝還是必敗。

此時題目并不適應于之前的Nim問題模型，而由于每堆石子都有k種拿法，總共的拿取步驟將會是指數級別，所以這時需要將每堆石子的操作分別轉化為SG函數模型，只要每堆石子的初始數量的SG函數值的異或和不為0即為必勝，否則必敗。（原因同Nim游戲）

代碼：（關鍵在于SG函數的寫法）

#include<bits/stdc++.h> using namespace std;int n,m,x; int s[110],f[110];int sg(int x) {if(f[x] != -1)//記憶化搜索，保證每個結點只被搜索一次return f[x];unordered_set<int> mp;//每進入一個新的結點，set要被重置，因為結點的值只與該節點的下一步有關for(int i = 0; i < m; i ++ ){int sum = x - s[i];if(sum >= 0)//如果存在下一步的走法mp.insert(sg(sum));//哈希表存下一步的SG函數值}for(int i = 0; ; i ++ ){if(!mp.count(i))//Mex函數，當前結點的SG函數值為下一步結點函數值中不存在的最小自然數return f[x] = i;} } int main() {int res = 0;memset(f,-1,sizeof(f));cin>>m;for(int i = 0; i < m; i ++ )cin>>s[i];cin>>n;while(n -- ){cin>>x;res ^= sg(x);}if(res)cout<<"Yes";elsecout<<"No";return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的博弈论之SG函数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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