作者：Yang Eninala
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根據(jù)我的理解，大多數(shù)人用漢密爾頓四元數(shù)就只是做三維空間的旋轉(zhuǎn)變換（我反正沒見過其他用法）。那么你不用學(xué)群論，甚至不用復(fù)習(xí)線性代數(shù)，看我下面的幾張圖就可以了。

首先，定義一個(gè)你需要做的旋轉(zhuǎn)。旋轉(zhuǎn)軸為向量，旋轉(zhuǎn)角度為（右手法則的旋轉(zhuǎn)）。如下圖所示：
此圖中,

那么與此相對(duì)應(yīng)的四元數(shù)（下三行式子都是一個(gè)意思，只是不同的表達(dá)形式）

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這時(shí)它的共軛（下三行式子都是一個(gè)意思，只是不同的表達(dá)形式），

如果你想算一個(gè)點(diǎn)在這個(gè)旋轉(zhuǎn)下新的坐標(biāo),需要進(jìn)行如下操作，
1.定義純四元數(shù)

2.進(jìn)行四元數(shù)運(yùn)算

3.產(chǎn)生的一定是純四元數(shù)，也就是說它的第一項(xiàng)為0，有如下形式：

4.中的后三項(xiàng)就是：

這樣，就完成了一次四元數(shù)旋轉(zhuǎn)運(yùn)算。

同理，如果你有一個(gè)四元數(shù)：

那么，它對(duì)應(yīng)一個(gè)以向量為軸旋轉(zhuǎn)角度的旋轉(zhuǎn)操作（右手法則的旋轉(zhuǎn)）。

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如果你想對(duì)四元數(shù)有著更深入的了解，請(qǐng)往下看。

四元數(shù)由漢密爾頓發(fā)明，這一發(fā)明起源于十九世紀(jì)的某一天。在這一天早上，漢密爾頓下樓吃早飯。這時(shí)他的兒子問他，“爸爸，我們能夠?qū)θ獢?shù)組（triplet，可以理解為三維向量）做乘法運(yùn)算么？”漢密爾頓說“不行，我只能加減它們。”

這時(shí)來自21世紀(jì)的旁白旁先生說，“大家快來看十九世紀(jì)的數(shù)學(xué)家有多二，連內(nèi)積和外積都不是知道。”

十九世紀(jì)的漢密爾頓也許確實(shí)不知道內(nèi)積和外積，但是他知道，他想要的三維向量乘法要比內(nèi)積和外積運(yùn)算“高大上”很多。這一乘法運(yùn)算要滿足下列四條性質(zhì)：
1.運(yùn)算產(chǎn)生的結(jié)果也要是三維向量
2.存在一個(gè)元運(yùn)算，任何三維向量進(jìn)行元運(yùn)算的結(jié)果就是其本身
3.對(duì)于任何一個(gè)運(yùn)算，都存在一個(gè)逆運(yùn)算，這兩個(gè)運(yùn)算的積是元運(yùn)算
4.運(yùn)算滿足結(jié)合律

換而言之，漢密爾頓想定義的不是一個(gè)簡(jiǎn)單的映射關(guān)系，而是一個(gè)群！（后來我們知道四元數(shù)所在群為S3，而四元數(shù)所代表的三維旋轉(zhuǎn)是SO(3)，前者是后者的兩倍覆蓋）內(nèi)積連性質(zhì)1都不滿足，外積不滿足性質(zhì)3。

漢密爾頓先生就這么被自己兒子提出的問題難倒了。經(jīng)歷了無數(shù)個(gè)日日夜夜，他絞盡腦汁也沒想明白這個(gè)問題。終于有一天（1843年的一天），漢密爾頓先生終于意識(shí)到了，自己所需要的運(yùn)算在三維空間中是不可能實(shí)現(xiàn)的，但在四維空間中是可以的，他是如此的興奮，以至于把四元數(shù)的公式刻在了愛爾蘭的一座橋上。

旁白：“WTF，我讓你講三維物體的旋轉(zhuǎn)，你給我扯到四維空間上去。”

（不加說明，以下所說四元數(shù)全為單位四元數(shù)）
其實(shí)，四元數(shù)有四個(gè)變量，完全可以被看作一個(gè)四維向量。單位四元數(shù)（norm=1）則存在于四維空間的一個(gè)球面上。，四元數(shù)乘以四元數(shù)其實(shí)看作（1）對(duì)進(jìn)行左旋轉(zhuǎn)，或者（2）對(duì)進(jìn)行右旋轉(zhuǎn)。所以從始至終，四元數(shù)定義的都是四維旋轉(zhuǎn)，而不是三維旋轉(zhuǎn)！任意的四維旋轉(zhuǎn)都可以唯一的拆分為一個(gè)左旋轉(zhuǎn)和一個(gè)右旋轉(zhuǎn)，表達(dá)出來就是。這里，我們對(duì)四元數(shù)（四維向量）進(jìn)行了一個(gè)左旋轉(zhuǎn)和一個(gè)右旋轉(zhuǎn)。結(jié)果當(dāng)然是一個(gè)四元數(shù)，符合性質(zhì)1。這個(gè)運(yùn)算也同時(shí)符合性質(zhì)2，3，4。

好了，說完了四維旋轉(zhuǎn)，我們終于可以說說三維旋轉(zhuǎn)了。說白了，三維旋轉(zhuǎn)就是四維旋轉(zhuǎn)的一個(gè)特例，就像二維旋轉(zhuǎn)是三維旋轉(zhuǎn)的一個(gè)特例一樣。說是特例其實(shí)不準(zhǔn)確，準(zhǔn)確的說是一個(gè)子集或者subgroup。為了進(jìn)行三維旋轉(zhuǎn)運(yùn)算，漢密爾頓首先在四維空間里劃出了一塊三維空間。漢密爾頓定義了一種純四元數(shù)（pure quaternion），其表達(dá)式為。純四元數(shù)第一項(xiàng)為零，它存在于四維空間的三維超平面上，與三維空間中的三維向量一一對(duì)應(yīng)。然后，就有了我們常見的這種左乘單位四元數(shù)，右乘其共軛的表達(dá)式。我真心不知道漢密爾頓是怎么想出來的，不過回過頭來看，這個(gè)運(yùn)算形式是為了限制其運(yùn)算結(jié)果所在的空間。簡(jiǎn)單的說，當(dāng)對(duì)一個(gè)三維向量進(jìn)行三維旋轉(zhuǎn)后，我們希望得到的是一個(gè)三維向量。（如果你真能得到一個(gè)四維向量，就不敢自己在家轉(zhuǎn)圈圈了吧，轉(zhuǎn)著轉(zhuǎn)著，就進(jìn)入四次元了！）那么這個(gè)左乘單位四元數(shù)，右乘其共軛的運(yùn)算保證了結(jié)果是一個(gè)在三維超平面上中的純四元數(shù)。

把左乘和右乘表達(dá)為矩陣形式會(huì)讓我們看的更清楚一些。依照的定義，的矩陣形式為

很明顯，前面的矩陣雖然是一個(gè)4x4的四維旋轉(zhuǎn)矩陣，但是它只是在右下角3x3的區(qū)域內(nèi)和一個(gè)單位矩陣有所不同。所以說，它是一個(gè)限制在三維超平面上的四維旋轉(zhuǎn)。如果表達(dá)式右邊不是共軛，而是任意四元數(shù)，那么我們所作的就是一個(gè)很普通的四維旋轉(zhuǎn)。如果只是左乘一個(gè)單位四元數(shù)，右邊什么都不乘，那么我們得到的是四維旋轉(zhuǎn)的一個(gè)子集，這個(gè)子集并不能保證結(jié)果限制在三維超平面上。如果只右乘，不左乘也是一樣一樣的。

說了這么多，對(duì)于堅(jiān)持到最后的你，上圖一幅，以表感謝。

其實(shí)這張圖解釋了一個(gè)長(zhǎng)久的疑問。為什么四元數(shù)里用的是而不是。這是因?yàn)樽龅木褪且粋€(gè)的旋轉(zhuǎn)，而也做了一個(gè)的旋轉(zhuǎn)。我們進(jìn)行了兩次旋轉(zhuǎn)，而不是一次，這兩次旋轉(zhuǎn)的結(jié)果是一個(gè)旋轉(zhuǎn)角為的旋轉(zhuǎn)。

編輯于 2015-03-08

總結(jié)

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