KL距離（相對熵）
KL距離，是Kullback-Leibler差異（Kullback-Leibler Divergence）的簡稱，也叫做相對熵（Relative Entropy）。它衡量的是相同事件空間里的兩個概率分布的差異情況。其物理意義是：在相同事件空間里，概率分布P(x)對應的每個事件，若用概率分布 Q(x)編碼時，平均每個基本事件（符號）編碼長度增加了多少比特。我們用D（P||Q）表示KL距離，計算公式如下：

D(P||Q)=∑x∈XP(x)logP(x)Q(x)D(P||Q)=∑x∈XP(x)log?P(x)Q(x)
當兩個概率分布完全相同時，即P(X)=Q(X)，其相對熵為0 。我們知道，概率分布P(X)的信息熵為：
H(P)=?P(x)logP(x)H(P)=?P(x)log?P(x)

其表示，概率分布P(x)編碼時，平均每個基本事件（符號）至少需要多少比特編碼。通過信息熵的學習，我們知道不存在其他比按照本身概率分布更好的編碼方式了，所以D(P||Q）始終大于等于0的。雖然KL被稱為距離，但是其不滿足距離定義的三個條件：1）非負性（滿足）；2）對稱性（不滿足）；3）三角不等式 （不滿足）。

我們以一個例子來說明，KL距離的含義。

假如一個字符發射器，隨機發出0和1兩種字符，真實發出概率分布為A，但實際不知道A的具體分布。現在通過觀察，得到概率分布B與C。各個分布的具體情況如下：

A(0)=1/2，A(1)=1/2

B(0)=1/4，B(1)=3/4

C(0)=1/8，C(1)=7/8

那么，我們可以計算出得到如下：

D(A||B)=12log(1214)+12log1234=12log43D(A||B)=12log?(1214)+12log?1234=12log?43
D(A||C)=12log(1218)+12log1278=12log167D(A||C)=12log?(1218)+12log?1278=12log?167
也即，這兩種方式來進行編碼，其結果都使得平均編碼長度增加了。我們也可以看出，按照概率分布B進行編碼，要比按照C進行編碼，平均每個符號增加的比特數目少。從分布上也可以看出，實際上B要比C更接近實際分布（因為其與A分布的KL距離更近）。

如果實際分布為C，而我們用A分布來編碼這個字符發射器的每個字符，那么同樣我們可以得到如下：

D(C||A)=18log1812+78log7812>0D(C||A)=18log?1812+78log?7812>0
再次，我們進一步驗證了這樣的結論：對一個信息源編碼，按照其本身的概率分布進行編碼，每個字符的平均比特數目最少。這就是信息熵的概念，衡量了信息源本身的不確定性。另外，可以看出KL距離不滿足對稱性，即D(P||Q)不一定等于D(Q||P)。

當然，我們也可以驗證KL距離不滿足三角不等式條件。

上面的三個概率分布，D(B||C)=1/4log2+3/4log(6/7)。可以得到：D(A||C) - (D(A||B)+ D(B||C)) =1/2log2+1/4log(7/6)>0，這里驗證了KL距離不滿足三角不等式條件。所以KL距離，并不是一種距離度量方式，雖然它有這樣的學名。

其實，KL距離在信息檢索領域，以及統計自然語言方面有重要的運用。
原文地址: https://www.cnblogs.com/nlpowen/p/3620470.html

總結

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