[转载]KL距离（相对熵）
KL距離（相對熵）
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KL距離，是Kullback-Leibler差異（Kullback-Leibler Divergence）的簡稱，也叫做相對熵（Relative Entropy）。它衡量的是相同事件空間里的兩個概率分布的差異情況。其物理意義是：在相同事件空間里，概率分布P(x)對應(yīng)的每個事件，若用概率分布 Q(x)編碼時，平均每個基本事件（符號）編碼長度增加了多少比特。我們用D（P||Q）表示KL距離，計算公式如下：
? 當(dāng)兩個概率分布完全相同時，即P(X)=Q(X)，其相對熵為0 。我們知道，概率分布P(X)的信息熵為：
? 其表示，概率分布P(x)編碼時，平均每個基本事件（符號）至少需要多少比特編碼。通過信息熵的學(xué)習(xí)，我們知道不存在其他比按照本身概率分布更好的編碼方式了，所以D(P||Q）始終大于等于0的。雖然KL被稱為距離，但是其不滿足距離定義的三個條件：1）非負(fù)性（滿足）；2）對稱性（不滿足）；3）三角不等式 （不滿足）。
? 我們以一個例子來說明，KL距離的含義。
? 假如一個字符發(fā)射器，隨機(jī)發(fā)出0和1兩種字符，真實發(fā)出概率分布為A，但實際不知道A的具體分布。現(xiàn)在通過觀察，得到概率分布B與C。各個分布的具體情況如下：
A(0)=1/2，A(1)=1/2
B(0)=1/4，B(1)=3/4
C(0)=1/8，C(1)=7/8
? 那么，我們可以計算出得到如下：
? 也即，這兩種方式來進(jìn)行編碼，其結(jié)果都使得平均編碼長度增加了。我們也可以看出，按照概率分布B進(jìn)行編碼，要比按照C進(jìn)行編碼，平均每個符號增加的比特數(shù)目少。從分布上也可以看出，實際上B要比C更接近實際分布（因為其與A分布的KL距離更近）。
? 如果實際分布為C，而我們用A分布來編碼這個字符發(fā)射器的每個字符，那么同樣我們可以得到如下：
? 再次，我們進(jìn)一步驗證了這樣的結(jié)論：對一個信息源編碼，按照其本身的概率分布進(jìn)行編碼，每個字符的平均比特數(shù)目最少。這就是信息熵的概念，衡量了信息源本身的不確定性。另外，可以看出KL距離不滿足對稱性，即D(P||Q)不一定等于D(Q||P)。
? 當(dāng)然，我們也可以驗證KL距離不滿足三角不等式條件。
? 上面的三個概率分布，D(B||C)=1/4log2+3/4log(6/7)。可以得到：D(A||C) - (D(A||B)+ D(B||C))
=1/2log2+1/4log(7/6)>0，這里驗證了KL距離不滿足三角不等式條件。所以KL距離，并不是一種距離度量方式，雖然它有這樣的學(xué)名。
? 其實，KL距離在信息檢索領(lǐng)域，以及統(tǒng)計自然語言方面有重要的運用。
總結(jié)
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