問題 ? ?設(shè)$\mathbb P$為全體素?cái)?shù)的集合,證明級(jí)數(shù)$$\sum_{p\in\mathbb P}\frac{1}{p}$$

發(fā)散.

證明 ? ?做這個(gè)問題前，必須知道一個(gè)常識(shí):全體素?cái)?shù)集$\mathbb P$是無限的.所以題中才能作為級(jí)數(shù).

如果結(jié)論不成立,則存在$k\in\mathbb N$使得$$\sum_{n=k+1}^{\infty}\frac{1}{p_{n}}<\frac{1}{2}$$

讓$m=p_{1}\cdots p_{k}$,那么$$1+mn,\forall n\in\mathbb N$$

的素因子都在$p_{k+1},p_{k+2},\cdots$中,這樣的話\begin{align*}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{1+mn}&\leq\sum_{i=1}^{\infty}\left(\sum_{n=k+1}^{\infty}\frac{1}{p_{n}}\right)^i<\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{2^i}\end{align*}

所以左邊收斂，這與調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散相矛盾!

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的素数倒数的级数发散性的一个证明的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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