海明碼是由R.HmIMI1ing在1950年首次提出的,它是一種可以糾正一位差錯的編碼。

??? 可以借用簡單奇偶校驗碼的生成原理來說明海明碼的構(gòu)造方法。若k(=n-1)位信息位a_n-1a_n-2…a₁加上一位偶校驗位a₀,構(gòu)成一個n位的碼字a_n-1a_n-2...a₁a₀,則在接收端校驗時,可按關(guān)系式

　　　　S=a_n-1+a_n-2+…+a₁+a₀

來計算。若求得S=0,則表示元錯;若S=1,則有錯。上式可稱為監(jiān)督關(guān)系式,S稱為校.正因子。.在奇偶校驗情況下,只有一個監(jiān)督關(guān)系式和一個校正因子,其取值只有0或1兩種情.況,分別代表元錯和有錯兩種結(jié)果,還不能指出差錯所在的位置。不難設(shè)想,若增加冗余位,也即相應(yīng)地增加了監(jiān)督關(guān)系式和校正因子,就能區(qū)分更多的情況。如果有兩個校正因子.
S₁和S₀,則S₁S₀取值就有00、01、10或11四種可能的組合,也即能區(qū)分四種不同的情況。若其中一種取值用于表示無錯(如00),則另外三種(01、10及11)便可以用來指出.不同情況的差錯,從而可以進一步區(qū)分出是哪一位錯。

??? 設(shè)信息位為k位,增加r位冗余位,構(gòu)成一個n=k+r位的碼字。若希望用r個監(jiān)督關(guān)系式產(chǎn)生的r個校正因子來區(qū)分元錯和在碼字中的n個不同位置的一位錯,則要求滿足以下關(guān)系式:
2^r>=n+1? 或? 2^r>=k+r+1

??? 以k=4為例來說明,則要滿足上述不等式,必須r>=3。假設(shè)取r=3,則n=k+r=7,即在4位信息位a₆a₅a₄a₃后面加上3位冗余位a₂a₁a₀,構(gòu)成7位碼字a₆a₅a₄a₃a₂a₁a₀,其中a2、a1和a0分別由4位信息位中某幾位半加得到,在校驗時,a₂、a₁和a₀就分別和這些位半.加構(gòu)成三個不同的監(jiān)督關(guān)系式。在無錯時,這三個關(guān)系式的值S₂、S₁和S₀全為"0"。若a₂錯,則S₂=1,而S₁=S₀=0;若a₁錯,則S₁=1,而S₂=S₀=0;若a₀錯,則s₀=1,而S₂=S₁=0。S₂、S₁和S₀這三個校正因子的其它4種編碼值可用來區(qū)分a₃、a₄、a₅、a₆中的一位錯,其對應(yīng)關(guān)系如表2.1。當然,也可以規(guī)定成另外的對應(yīng)關(guān)系,這并不影響討論的一般性。

表2.1??????????????????????????????? S_2?S_1?S_{0 值與錯碼位置的對應(yīng)關(guān)系}

?

由表可見,a₂、a₄、a₅或a₆的一位錯都應(yīng)使S₂=1,由此可以得到監(jiān)督關(guān)系式..
S₂=a₂+a₄+a₅+a₆....
同理可得:S1=a₁+a₃+a₅+a₆..
S₀=a₀+a₃+a₄+a₆
在發(fā)送端編碼時,信息位a₆、a₅、a₄和句的值取決于輸入信號,它們在具體的應(yīng)用中有l(wèi)確定的值。冗余位電、a₁和a_o的值應(yīng)根據(jù)信息位的取值按監(jiān)督關(guān)系式來確定,使上述三式l中的S₂、S₁和S₀取值為零,即
a₂+a₄+a₅+a₆=0
a₁+a₃+a₅+a₆=0
a₀+a₃+a₄+a₆₌0
由此可求得:
a₂=a₄+a₅+a₆
a₁=a₃+a₅+a₆
a₀=a₃+a₄+_a6

已知信息位后,按上述三式即可算出各冗余位。對于本例來說,各種信息位算出的冗余位如表2.2所示。

表2.2??????????????????????? 由信息位算得海明碼冗余位

??? 在接收端收到每個碼字后,按監(jiān)督關(guān)系式算出S₂、S₁和S₀,若它們?nèi)珵?#34;0",則認為無錯;若不全為"0",在一位錯的情況下,可查表2.1來判定是哪一位錯,從而糾正之。例如碼字0010101傳輸中發(fā)生一位錯,在接收端收到的為0011101,代入監(jiān)督關(guān)系式可算得S₂=0、S₁=1和S₀=1,由表2.1可查得S₂S₁S₀=011對應(yīng)于a₃錯,因而可將0011101糾正為00101010。

??? 上述海明碼的編碼效率為4/7。若K=7,按2r>=k+r+1可算得r至少為4,此時編碼.效率為7/11。可見,信息位位數(shù)越多時編碼效率就越高