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每當我們估計回歸模型時，都必須假定回歸具有正確的函數形式。該假設可能會有以下幾種錯誤：

■可以從回歸中忽略一個或多個重要變量。

■在估計回歸之前，可能需要轉換一個或多個回歸變量(例如，通過對變量取自然對數)。

■回歸模型匯集了來自不同樣本中不應該被匯集的數據。

首先，考慮從回歸中忽略一個重要的自變量的影響(遺漏變量偏差)。如果真正的回歸模型是：

Yi= b0 + b1X1i + b2X2i +εi

但是我們估計的模型是：

Yi= a0 + a1X1i +εi

那么我們的回歸模型將被錯誤指定。該模型有什么問題？如果省略的變量(X2)與其余變量(X1)相關，則模型中的誤差項將與(X1)相關，并且回歸系數a0和a1的估計值將有偏差且不一致。另外，這些系數的標準誤估計值也將不一致，因此我們既不能使用系數估計值也不能使用估計的標準誤差來進行統計檢驗。 案例遺漏變量偏差和買賣價差

在本例中，我們擴展了對買賣價差的研究，以顯示從回歸中省略重要變量的影響。在此前的案例中，我們證明了[(買賣價差)/價格]的自然對數與做市商數量的自然對數和公司市值的自然對數存在顯著相關。

下表顯示了結果：

如果我們去除市值的自然對數，只對[(買賣價差)/價格]的自然對數與做市商數量的自然對數進行一個自變量的回歸,結果如下表所示。

請注意，ln(納斯達克做市商數量)的系數從原始回歸(正確結果)的-1.5186變為錯誤的-3.1027。同樣，截距從原始回歸中的1.5949變為5.0707。這些結果說明，遺漏回歸中應包含的自變量會導致其余回歸系數的不一致。

回歸模型發生錯誤指定的第二個常見原因是，對于需要轉換的數據，在回歸中沒有進行轉換，或使用了錯誤的數據形式。例如，有時分析人員無法判斷因變量和自變量之間的非線性關系，進而指定了變量之間的線性關系。在指定回歸模型時，應考慮經濟理論是否暗示了非線性關系。我們通常可以通過繪制數據圖表來確認非線性關系，如下面的案例所示。如果當一個或多個變量的比例變化表現出線性關系時，我們可以通過取自然對數來對錯誤指定進行糾正。在其他時候，分析師更傾向于使用無單位的數據進行回歸分析(例如將凈收入或現金流量除以銷售額)。在此前的案例中，我們用股票價格對買賣差價進行了除法計算，因為對于投資者而言，買賣差價在交易成本方面的意義取決于股票價格；如果我們沒有調整買賣差價，那么回歸模型就會發生錯誤指定。

案例 非線性與買賣價差

在此前的案例中，我們的結果表明[(買入-賣出價差)/價格]的自然對數與做市商數量的自然對數和公司市值的自然對數均顯著相關。但是，為什么我們在回歸中使用的是變量的自然對數呢？

關于[(買入-賣出點差)/價格]及其決定因素(自變量)之間的關系的性質，有什么理論基礎嗎？Stoll(1978)建立了市場中買賣差價百分比決定因素的理論模型。他的模型如下：

其中，c是常數。在初始變量中，買賣差價百分比與做市商數量與市值的關系不是線性的。但是，如果對上述模型等式兩邊取自然對數，轉換后的變量是線性的(對數-對數回歸)：

Yi= b0 + b1X1i + b2X2i +εi

其中

Yi= 股票i(買入-賣出價差)/價格的自然對數

b0= 常數，ln(c)

X1i= 股票i的做市商數量的自然對數

X2i= 公司i市值的自然對數

εi= 殘差

如此前案例所述，對數-對數模型的斜率系數被解釋為彈性，準確地說，因變量相對于自變量存在部分彈性(“部分”是指保持其他自變量不變)。

我們可以繪制數據以評估對數轉換后變量是否線性相關。例如，下圖展示了一個股票的做市商數量自然對數的散點圖(X軸)、(買賣價差)/價格的自然對數(Y軸)及回歸線。這兩個經過轉換后的變量之間的關系顯然是線性的。

如果我們不取[(買賣價差)/價格]的對數，回歸線就不是線性的。上面第二張圖顯示了做市商數量自然對數(X軸)和[(買賣價差)/價格](Y軸)之間的關系。我們看到這兩個變量之間的非線性關系非常明顯的。因此，我們不應該以[(買賣價差)/價格]為因變量來估計回歸。另外，考慮到需要確保預測的買賣價差是正的，因此我們不能直接使用[(買賣價差)/價格]作為因變量。如果我們直接使用[(買賣價差)/價格]作為因變量，模型也可以將買賣價差預測為負值。這個結果是荒謬的——在現實中，沒有買賣價差是負的(交易員不可能同時在高位買入和低位賣出)，因此能夠預測買賣價差為負的模型肯定是錯誤的。我們下面將討論預測買賣價差為負值的問題。

下表顯示了以[(買賣價差)/價格]為因變量，做市商數量的自然對數和公司市值的自然對數為自變量的回歸結果。

1、假設對于在納斯達克上市的特定股票，做市商的數量為50，市值為60億美元。根據上述模型，該股票的預期買賣差價與價格的比率是多少？

做市商數量的自然對數等于ln50 = 3.9120，股票市值(百萬美元)的自然對數等于ln6000 = 8.6995。

在這種情況下，預期買賣差價與價格的比率為0.0674+(-0.0142×3.9120)+(-0.0016×8.6995)=-0.0021。因此，該模型預測買賣價差與股票價格之比為-0.0021。

2、上述股票的預期買賣價差是否有意義？如果沒有，如何避免這個問題？

預測的買賣差價為負，這在經濟上沒有意義。

通過使用[(買賣價差)/價格]的對數作為因變量，可以避免此問題。

通常，分析師在比較公司之間的數據之前必須決定是否對變量進行加工。例如，在財務報表分析中，分析師通常會使用百分比財務報表。在百分比利潤表中，所有金額都除以了公司的收入。

百分比財務報表使公司之間的可比性更加容易。對于想要使用回歸分析來比較一組公司業績的分析師來說，可能會出現可比性問題。如以下案例所示。

案例 經營現金流和自由現金流之間的關系

假設有一位分析師想解釋美國11家服裝公司2001年自由現金流與經營現金流量的關系。

為了調查此問題，分析師可能在線性回歸中將自由現金流作為因變量，將經營現金流作為自變量。下圖顯示了回歸的結果。請注意，經營活動現金流的斜率系數的t統計量非常高(6.5288)，回歸的F統計量的顯著性水平很低(0.0001)，R方值非常高。我們可能會傾向于認為這種回歸是準確的。如果經營活動現金流增加1.00美元，我們可以有把握地預測公司的自由現金流量將增加0.3579美元。

但是這個估計是正確嗎？該回歸沒有考慮樣本中公司之間的規模差異。

我們可以通過使用常見的現金流百分比結果來解決規模差異。在使用回歸分析之前，我們將經營活動現金流和公司的自由現金流除以公司的銷售額。我們將(自由現金流/銷售額)作為因變量，并使用(經營活動現金流/銷售額)作為自變量。下圖顯示了回歸結果。請注意，(經營活動現金流/銷售額)斜率系數的t統計量為1.6262，在0.05水平上不顯著。另外，F統計量的顯著性水平為0.1383，因此我們不能在0.05水平上拒絕“回歸不能解釋服裝公司(自由現金流/銷售額)的差異”該假設。

最后，我們也應該注意到，此回歸中的R方比以前的回歸低得多。

哪種回歸更有意義？通常，等比例的回歸更有意義。我們想知道如果來自經營活動的現金流量(與銷售額的比率)發生變化，自由現金流(與銷售額的比率)會發生什么。如果不進行縮除法，則回歸結果可以僅基于公司之間的規模差異，而不是基于公司的基本經濟狀況。

回歸模型中錯誤指定的第三種常見形式是合并不應合并的來自不同樣本的數據。我們用圖形方式說明這種類型的錯誤指定。下圖顯示了變量X和Y的兩個數據集，并帶有擬合的回歸線。數據可以表示兩個不同時間段的兩個金融變量之間的關系。

在X和Y的每個數據集中，兩個變量之間的相關性幾乎為0。由于組合樣本中兩個數據集的X和Y的均值不同，所以X和Y高度相關。然而，這種相關性是假的，因為它反映了X和Y在兩個不同時期的關系的差異。

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總結

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