題目鏈接：http://poj.org/problem?id=2429 題目大意：給定gcd(a,b)和lcm(a,b)（<2^63），求a和b，如果有多種情況，輸出和最小的情況. ? 首先gcd(a,b) * lcm(a,b) = a*b，但是如果我們直接從a*b中分解因子的話，a*b是可能超過long long的，這樣就不好處理了. 我們可以先把gcd(a,b)都分給a,b，因為他們的因子中都要有gcd(a,b).于是現在還剩下lcm(a,b)/gcd(a,b)了，于是我們先用pollard-rho給他分解因子. 那么還有一個問題，能隨便分么？分出來的a,b雖然能保證a*b，但是能保證他們的gcd和lcm都是給定的么？不一定. 所以我們還需要注意分因數的過程中還要保證gcd和lcm的正確性. 但這個問題其實不難，因為a*b一定是不變的，所以我們只要保證gcd和lcm其中一個不變，另一個也就自然不變了.顯然保證gcd比較簡單. 我們知道lcm/gcd = p1^q1 * p2 ^q2 *……* pn^qn，其中p1,p2,……,pn是因子.我們只要保證某個數把某個pi全部取走，這樣他們除了先前取走的gcd外再無公因數，則可保gcd正確.這樣的話，2^63內的數所有不同的因子個數最多也就十幾個，枚舉無壓力. ? #include #include #include using namespace std;//return a * b % m unsigned long long mul_mod(unsigned long long a, unsigned long long b, unsigned long long m){//為了防止long long型a * b溢出，有時需要把乘法變加法//且因為暴力加法會超時要使用二分快速乘法模（模仿二分快速冪模……）unsigned long long res = 0, tmp = a % m;while(b){if (b & 1){res = res + tmp;res = (res >= m ? res - m : res);}b >>= 1;tmp <<= 1;tmp = (tmp >= m ? tmp - m : tmp);}return res; }//return a ^ b % m long long exp_mod(long long a, long long b, long long m){long long res = 1 % m, tmp = a % m;while(b){if (b & 1){//如果m在int范圍內直接用下一式乘就可以，否則需要用下二式把乘法化加法，用快速乘法模//res = (res * t) % m;res = mul_mod(res, tmp, m);}//同上//t = t * t % m;tmp = mul_mod(tmp, tmp, m);b >>= 1;}return res; }/*-------------Miller-Rabin 素數測試 部分(用到上面mul_mod和exp_mod 素數return true)--------------*/ bool Miller_Rabin(long long n){int a[5] = {2, 3, 7, 61, 24251};//一般Miller_Rabin素數測試是隨機選擇100個a,這樣的錯誤率為0.25^100//但在OI&&ACM中，可以使用上面一組a，在這組底數下，10^16內唯一的強偽素數為46,856,248,255,981if (n == 2)return true;if (n == 1 || (n & 1) == 0)return false;long long b = n - 1;for (int i = 0; i < 5; i ++){if (a[i] >= n)break;while((b & 1) == 0) b >>= 1;long long t = exp_mod(a[i], b, n);while(b != n - 1 && t != 1 && t != n - 1){t = mul_mod(t, t, n);b <<= 1;}if (t == n - 1 || (b & 1))continue;elsereturn false;}return true; } /*-------------Miller-Rabin 素數測試 部分--------------*//*-------------pollard-rho 大整數n因子分解 部分(用到mul_mod()和Miller-Rabin測試)--------------*/ long long factor[100]; //存n的素因子 long long nfactor, minfactor;long long gcd(long long a, long long b){return b ? gcd(b, a%b) : a; } void Factor(long long n); void pollard_rho(long long n){if (n <= 1)return ;if (Miller_Rabin(n)){factor[nfactor ++] = n;if (n < minfactor)minfactor = n;return ;}long long x = 2 % n, y = x, k = 2, i = 1;long long d = 1;while(true){i ++;x = (mul_mod(x, x, n) + 1) % n;d = gcd((y - x + n) % n, n);if (d > 1 && d < n){pollard_rho(d);pollard_rho(n/d);return ;}if (y == x){Factor(n);return ;}if (i == k){y = x;k <<= 1;}} } void Factor(long long n){//有時候RP不好 or n太小(比如n==4就試不出來……)用下面的pollard_rho沒弄出來，則暴力枚舉特殊處理一下long long d = 2;while(n % d != 0 && d * d <= n)d ++;pollard_rho(d);pollard_rho(n/d); } /*-------------pollard-rho 大整數n因子分解 部分--------------*/vector > vfac; void find(long long n, long long &a, long long &b){long long sum = (1LL << 62);long long suma;for (int i = 0; i < (1 << vfac.size()); i ++){long long res = 1;for (size_t k = 0; k < vfac.size(); k ++){if (i & (1 << k)){for (int p = 0; p < vfac[k].second; p ++){res *= vfac[k].first;}}}long long remain = n / res;if (res + remain < sum){sum = res + remain;a = suma = res;b = remain;}if (res + remain == sum){if (res < suma){a = suma = res;b = remain;}}}return ; } int main(){long long g, l, n;while(cin >> g >> l){n = l / g;vfac.clear();nfactor = 0;pollard_rho(n);long long tmp = n;for(int i = 0; i < nfactor; i ++){int facnum = 0;while(tmp % factor[i] == 0){tmp /= factor[i];facnum ++;}vfac.push_back(make_pair(factor[i], facnum));}long long a, b;find(n, a, b);cout << a * g << " " << b * g << endl;}return 0; } ?

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的POJ 2429 GCD LCM Inverse ★(pollard-ρ DFS枚举)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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