分析遞歸算法三種方法 替換法、迭代法、通用法（master method） 作用：分析遞歸算法的運行時間 分治算法 將一個問題分解為與原問題相似但規模更小的若干子問題，遞歸地解這些子問題，然后將這些子問題的解結合起來構成原問題的解。這種方法在每層遞歸上均包括三個步驟： divide（分解）：將問題劃分為若干個子問題 conquer（求解）：遞歸地解這些子問題；若子問題Size足夠小，則直接解決之 Combine（組合）：將子問題的解組合成原問題的解 其中的第二步很關鍵：遞歸調用或直接求解? （遞歸終結條件），且有的算法“分解”容易，有的則“組合”容易 分治法舉例： 歸并排序 ①分解：把n個待排序元素劃分為兩個Size為n/2的子序列 ②求解：遞歸調用歸并排序將這兩個子序列排序，若子序列長度為1時，已自然有序，無需做任何事情（直接求解） ③組合：將這兩個已排序的子序列合并為一個有序的序列

顯然，分解容易（一分為二），組合難。

快速排序?

剛剛分析過了，快速排序是樞軸記錄劃分，也就是分解難，但是組合易。?? A[1…k-1] ≤ A[k] ≤ A[k+1…n]

分治算法分析 設T(n)是Size為n的執行時間，若Size足夠小，如n ≤ C (常數)，則直接求解的時間為θ(1) ①設完成劃分的時間為D(n) ②設分解時，劃分為a個子問題，每個子問題為原問題的1/b，則解各子問題的時間為aT(n/b) ③設組合時間C(n) 一般地，遞歸的求解劃分，而解遞歸式時可忽略細節 ①假定函數參數為整數，如 ②邊界條件可忽略，當n較小時，T(n）=?θ(1)

因為這些細節一般只影響常數因子的大小，不改變量級。求解時，先忽略細節，然后再決定其是否重要！

分析的方法

替換法

猜測解，用數學歸納法確定常數C，證明解正確，關鍵步驟是用猜測的解代入到遞歸式中。 做出好的猜測（沒有一般方法，只能憑經驗） ①與見過的解類似，則猜測之。 ②先證較寬松的上、下界，減小猜測范圍。 細節修正 有時猜測解是正確的，但數學歸納法卻不能直接證明其細節，這是因為數學歸納法不是強大到足以證明其細節。這時可從猜測解中減去一個低階項以使數學歸納法得以滿足 避免陷阱 與求和式的數學歸納法類似，證明時漸近記號的使用易產生錯誤。 變量變換 有時改動變量能使未知遞歸式變為熟悉的式子。例如： 迭代法 展開：無須猜測，展開遞歸式，使其成為僅依賴于n和邊界條件的和式，然后用求和方法定界。需要關注： 1、達到邊界條件所需的迭代次數 2、迭代過程中的和式。若在迭代過程中已估計出解的形式，亦可用替換法 3、當遞歸式中包含floor和ceiling函數時，常假定參數n為一個整數次冪，以簡化問題。 遞歸樹 使展開過程直觀化 例： T(n)=2T(n/2)+n^2?? （不妨設n=2k）

The master method（通用法，萬能法）

可迅速求解

T(n)=aT(n/b)+f(n)?? //常數a ≥1, b>1, f(n)漸近正 意義：將Size為n的問題劃分為a個子問題，每個子問題Size為n/b。每個子問題的時間為T(n/b)，劃分和combine的時間為f(n)。 注意：n/b不一定為整數，應為?n/b?或?n/b?，不會影響漸近界。 ? 關于遞歸和循環的理解與比較

遞歸通俗的說就是一個函數調用函數自己（本身），這個調用過程叫遞歸，遞歸是一把雙刃劍（有時方便，有時不好），如果需要處理重復的需要多次計算的問題，通常可以選擇用遞歸或者循環兩種方式，但是遞歸的執行效率不如循環語句。

注意：必須設置終止遞歸的條件檢測，否則慎用。

void up_and_down(int);//函數原型聲明
int main() {up_and_down(1);//調用遞歸函數

system("pause");
return 0; }
void up_and_down(int n) {printf("level%d, n地址=%p\n", n, &n);if (n < 4){up_and_down(n + 1);}printf("LEVEL%d, n地址=%p\n", n, &n); }

首先，main函數用參數1調用遞歸函數，遞歸函數形參n=1，打印語句level1……然后，n<4，故函數本身使用參數n+1=2,第二次調用自己，這樣就打印了level2……

以此類推，當執行到第四級調用，n=4，if失效，不再調用函數，而是執行了第二句打印，先輸出LEVEL4……此時第四級調用結束，控制權返回給了主調函數，也就是第三級主調函數，此函數中上一句是if語句，已經執行完畢，然后繼續執行第二句打印語句，輸出LEVEL3……第三級調用結束，返回控制權給調用函數（也就是第二級主調函數），然后第二級函數開始繼續執行，以此類推，打印LEVEL2,1……

遞歸的基本原理

每一級遞歸都使用自己這一級的私有變量n，同級調用時的地址和返回的地址是一樣的。好好揣摩！

這是函數自己在一層層的往深度調用自己，然后一層層的往回返，每到一層，就繼續執行接下來的語句（故調用開始的地址和返回的地址一樣），而每一級遞歸都是用自己的局部變量。也就是第一級的n不同于第二級的n，這樣子，函數逐步調用然后逐步返回直到main函數里。

遞歸函數里，遞歸語句之前的語句和各級被調的遞歸函數執行順序一致，而遞歸語句之后的語句和被調的遞歸函數執行順序相反（這一特點針對涉及反向順序的編程問題很有用）?

遞歸函數必須包含可以終止的條件，因為遞歸可以替代循環，故必須有終止

尾遞歸

最簡單的遞歸：遞歸語句放到函數末尾，恰在return語句前，叫做tail recursion（尾遞歸），因為出現在函數尾部，作用相當于一條循環語句。

//計算階乘（遞歸和循環） #include <stdio.h> #include <stdlib.h> //計算階乘 int factorial(int); int loopFactorial(int);int main() {int num;printf("輸入1-12的整數，q退出\n");while (scanf_s("%d", &num)){if (num < 0){printf("error!輸入1-12的整數!");}else if (num > 12){printf("輸入1-12的整數!");}else{printf("\n%d的階乘=%d", num, factorial(num));printf("\n%d的階乘=%d", num, loopFactorial(num));}printf("\n輸入1-12的整數");}system("pause");return 0; } //循環計算階乘 int factorial(int n) {int temp;for (temp = 1; n > 1; n--){temp *= n;}return temp; } //使用遞歸計算階乘 int loopFactorial(int n) {int temp;if (n > 0){temp = n * loopFactorial(n - 1);//屬于尾遞歸，如n>0那么這就是最后一句 }else{temp = 1;//必須要有遞歸結束判斷條件！ }return temp; }

注意:整型范圍，32位機器，int類型最大到21多億，再大的話，就要用long long或者double類型，一般來說，選擇循環比較好些，遞歸每次調用都要有自己的變量集合，占據內存大，每次都要存儲新的變量集合到堆棧，這樣速度慢，但是遞歸（最簡單的是尾遞歸）比較簡單。一些情況還是要用。

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的算法中的递归分析和分治法的原理的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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