leetcode習題287 Find the Duplicate Number 在答案中看到了floyd’s tortoise and hare 算法，知道了如果有限狀態機、迭代函數或者鏈表存在環，那么是需要算法檢測環是否存在。檢測算法有三種:Floyd龜兔算法、Brent算法、Gosper算法。

Floyd龜兔算法

算法描述

Floyd龜兔算法是一種指針算法。該算法僅使用移動速度不同的兩個指針就能檢測出是否有環。Floyd龜兔算法解決以下問題：1檢測是否有環。2環的起點節點。3環的長度。
1 檢測是否有環。
想象在一個環形跑道上跑步，兩個人同時出發，出發以后速度快的人終究會在某一點和速度慢的人相遇。一般這個時候相遇，速度快的人比速度慢的人至少多跑一圈。

我們假設列表的開始節點是S，環上的起始節點是P，第一次相遇的節點是M。S和P的距離是p，從P和M的距離是m,從M到p的距離是n。指針t和h初始狀態下都指向S。接著t每次只有1步，h每次走2步。只要二者沒有相遇，就一直按著這個速度走下去。當h無法前進（到達隊列末尾）的時候，可以判斷沒有環。如果t和h在某點再次相遇，則確定有環。
舉一個迭代函數的例子。有函數f定義域和值域都是 S = {0,1,2,3,4,5,6,7,8}，從$x_0=2$開始，不斷重復調用f，能夠產生一個序列：2,0,6,3,1,6,3,1,6,3,1…產生了一個環：6,3,1。

定義：S是一個有限集合，f是一個函數，從S到S的一個映射，$x_0$可以是S中的任意一個元素。對于任意的$i>0$，$x_i=f(x_{i?1})$。$\mu$是換上的起點節點的最小下標，$\lambda$是環的長度。一定有$x_{\mu }=x_{\lambda +\mu }$
證明：如果有環存在，則對于任意的整數$i>=\mu$并且$k>0$，都有$x_i=x_{i+k\lambda }$。對于特定的k來講，一定存在使得$i=k\lambda$，那這時候$x_i=x_{2i}$。至此，說明了速度不同的兩個指針可以在某點相遇。

2 計算環長度
當t和h相遇在M點。因為相遇的點一定在環上。這時候保存h不動，t按之前的速度繼續前進，直到和h再次相遇，這個過程中移動的步數就是環的長度。

3 環的起始節點確定
在確定是否有環的過程中，h走的距離是t走的距離的2倍。c為環長。t走的距離是 $s1=p+m+a?c$，h走的距離是$2?s1=p+m+b?c$,兩式子相減得到：$s1=(b?a)?c=p+m+a?c$,得到p+m=環的整數倍。
為了找到環的起點，t回到起點，h在當前位置。同時向前，他們再次相遇一定在P點。為什么呢？因為從S到P的距離是p，從P到M的距離是m，因為m+p是環長的整數倍，所以當h走過距離p的時候也一定達到了P點。

算法時間復雜度：令S到P的距離為m，環的長度為n，時間復雜度$O(m+n)$。
空間復雜度：O(1)。

參考
網頁1
網頁2
網頁3

總結

以上是生活随笔為你收集整理的Floyd判圈算法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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