文章出處：極客時間《數據結構和算法之美》-作者：王爭。該系列文章是本人的學習筆記。

跳表的由來

說明：圖片來自極客時間
由來
　　二分查找的數據結構是數組，利用數組隨機訪問的特定查找的時間復雜度是O(logn)。如果數據結構是鏈表，可以達到這樣的速度嗎？答案是可以的。只是要改造。改造之后的結構就是跳表，是一種動態數據結構，可以支持快速的插入、刪除、查找、按范圍查找。功能類似于紅黑樹。Redis中的有序集合使用的就是跳表。

跳表的結構

　　對于單鏈表來說，存儲的數據是有序的，想要查找某個數，時間復雜度是O(n)。如果對單鏈表建一個一級“索引”，就是說每兩個節點提取一個節點。提取出的節點有一個down指針指向原始鏈表中的同一個節點。
　　
　　現在要查找數據16，那么查找路徑是：1，4，7，9，13，13（原始鏈表），16。查找7個節點。單鏈表查找16需要查找10個節點。
　　如果對一級索引再建“索引”，形成二級索引。
　　
　　現在要查找數據16，那么查找路徑是：1，7，13，13，13，16。查找6個節點。
　　當n小的時候，減少的節點數量不明顯。如果是n=64。建5級索引。
　　
　　現在查找62需要11個節點，路徑是1，33，33，49，49，57，57，61，61，61，62。原來需要62個節點。提升效果很明顯。當n越大，提升效果越明顯。
　　跳表=鏈表+多級索引

跳表的時空復雜度

時間復雜度
　當節點個數為ｎ的時候，跳表會建幾層索引呢？第１級索引節點個數$\frac{n}{2}$，第2級索引節點個數$\frac{n}{4}$，第k級索引節點個數$\frac{n}{2^k}$。最上面一層索引節點個數是2。也就是說$2=\frac{n}{2^l}$,$l+1=lo{g}_{2}n$,$l=lo{g}_{2}n?1$。再加上原始鏈表層，跳表有$lo{g}_{2}n$層，記為logn。
　每一層最多查詢的節點個數是3。因為在建每一層索引的時候，是每2個數據建一個節點。例如查找數據x，在第k層發現$y<x,x>z$，所以通過y的down指針向，從第k層走到第k-1層。而y和z節點之間最多有3個節點（包含y和z）。
　
　那么跳表的時間復雜度就是O(logn)。和二分查找是同樣的查找效率。
空間復雜度
　鏈表的查找速度和二分一樣，這是需要付出空間代價的。也就是以空間換時間。那么額外需要多少空間呢？$\frac{n}{2}+\frac{n}{4}+\frac{n}{8}+...+2=n$，等比數列求和。所以空間復雜度是O(n)。

跳表插入和刪除

插入
　對于插入來講，為了維持鏈表的有序性，在插入一個數據的時候需要先查找到插入的位置。
　
　例如在鏈表中插入6，需要查找插入位置，查找節點1，1，4，4，5，時間復雜度和查找一個數字類似，O(logn)。鏈表的插入操作是O(1)，所以整體插入操作時間復雜度O(logn)。
刪除
　刪除操作不僅要刪除鏈表層，同時需要刪除索引層的節點。時間復雜度O(logn)。

動態索引表更新

索引更新
　當不斷插入數據的時候，如果不更新索引層，極端情況下跳表退化為單鏈表。當插入數據的時候，同時更新某些索引層。至于在哪些層建索引，可以通過隨機函數來選擇。

思考題

1 redist為什么使用跳表而不是紅黑樹？
　redist的核心操作是：
　插入一個數據；
　刪除一個數據；
　查找一個數據；
　按范圍查找一個區間內的數據；
　迭代輸出有序序列
　紅黑樹效率不高的操作是：按范圍查找一個區間內的數據。
　其他原因：跳表更容易實現，代碼比較簡單。

2 如果每3個或者5個節點抽取一個做索引，那么跳表的時間復雜度和空間復雜度是多少呢？
如果每三個或者五個節點提取一個節點作為上級索引，那么對應的查詢數據時間復雜度，也還是 O(logn)。其實這里的底數已經不是2，而是3或者5。
空間復雜度，也依然是一個等比數列的和：$\frac{n}{3}+\frac{n}{9}+\frac{n}{8}+...+3=\frac{3}{2}(n?1)$，記為O(n)。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数据结构三——跳表的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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