淘寶的“雙十一”購物節(jié)有各種促銷活動，比如“滿 200 元減 50 元”。假設(shè)你的購物車中有 n 個（n>100）想買的商品，希望從里面選幾個，在湊夠滿減條件的前提下，讓選出來的商品價格總和最大程度地接近滿減條件（200 元），這樣就可以極大限度地“薅羊毛”。

回溯法

我們假設(shè)購物滿w元才能減。例如滿500減200，那w=500。購物車中商品的價格int[] price表示。每次決定第i個物品要不要購買，當(dāng)物品選完了或者總價夠w，停止選擇。比較選中物品價格總和最低的一組選擇。這是一個多階段決策最優(yōu)化問題。可以先用回溯算法解決。

public class Shopping {private int[] price = new int[]{198,201,345,200};private int w = 500;private int minPrice = Integer.MAX_VALUE;private List<Integer> selectItems;private void f (int i,int priceSum,boolean[] shoppingStatus){if(priceSum>w){if(priceSum<minPrice){minPrice = priceSum;selectItems = new ArrayList<Integer>();for(int j=0;j<shoppingStatus.length;j++){if(shoppingStatus[j]){selectItems.add(j);}}}return;}if(i==price.length) return;shoppingStatus[i] = true;f(i+1,priceSum+price[i],shoppingStatus);//選擇第i件商品shoppingStatus[i] = false;f(i+1,priceSum,shoppingStatus);//不選擇第i件商品}public void decision(){boolean[] shoppingStatus = new boolean[price.length];f(0,0,shoppingStatus);} }

遞歸樹

遞歸樹中的每個節(jié)點(diǎn)是一個狀態(tài)，用(i,preSum)表示。i表示將要處理第i個商品。preSum表示當(dāng)前狀態(tài)下已經(jīng)購買商品的價格和。可以看到這里的狀態(tài)表示的參數(shù)基本和f函數(shù)的參數(shù)是相同的。
在這個例子中，(i,preSum)相同的節(jié)點(diǎn)正好都只有一個，但不排除有多個節(jié)點(diǎn)的可能性。

狀態(tài)表

根據(jù)(i,preSum)我們知道用一個二維表可以表示各種不同的狀態(tài)。第一維（行）是商品下標(biāo)，第二維（列）是商品總價。又因為題目要求價格和需要大于w，但我們又不能讓商品和太大，太大優(yōu)惠就沒有必要了。我們需要給商品總價一個最大值3w。

狀態(tài)表boolean[][] states。
第0個商品決策之后，states[0][0]=true；states[0][198]=true。
第1個商品決策之后，states[1][0]=true；states[1][201]=true；states[1][198]=true；states[1][399]=true；
…

我們在states[n-1]從下標(biāo)w開始找值為true的元素下標(biāo)。最先找到的就是符合要求的最小價格。
它與萊文斯坦距離、矩陣中的最短路徑長度不同的地方是，不需要在每一步?jīng)Q策之后只保留最小值，其他節(jié)點(diǎn)放棄。
我想這里沒有放棄其他節(jié)點(diǎn)，是因為這里的每一個狀態(tài)可能就是最終答案。第i個商品是不是購買，和第i-1個商品決策之后的所有狀態(tài)有關(guān)系。

public void decisionDp(){int n = price.length;int maxw = 3*w;boolean[][] states = new boolean[n][maxw+1];states[0][0] = true;if(price[0]<maxw){states[0][price[0]] = true;}for(int i=1;i<n;i++){//不購買第i個for(int j=0;j<maxw+1;j++){if(states[i-1][j]){states[i][j] = true;}}//購買第i個for(int j = 0;j<maxw+1;j++){if(states[i-1][j]==true && j+price[i]<maxw){states[i][j+price[i]] = true;}}}int minPrice = -1;for(int j = w;j<maxw+1;j++){if(states[n-1][j]){minPrice = j;break;}}//說明有選擇if(minPrice!=-1){System.out.println(minPrice);int j = minPrice;for(int i=n-1;i>=1;i--){if(j-price[i]>=0 && states[i-1][j-price[i]]){System.out.println(price[i]);//購買這件商品}}if(j!=0){System.out.println(price[0]);}}}

當(dāng)然，這道題目還要一個難點(diǎn)是要輸出選擇了哪些商品。當(dāng)我們知道滿足要求的最低總價是minPrice。也就是說states[n-1][minPrice]=true。如果states[n-2][minPrice]=true，則說明第n-1號物品是被放棄的，不購買的。如果states[n-2][minPrice-price[n-1]]=true，說明是購買第n-1號商品的。繼續(xù)遞歸往回查找。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的动态规划——双11既可以薅羊毛还能花钱最少的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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