看了五大常用算法之一這篇博文，感覺理解了很多，可是純粹都是理論，缺少一些示例，所以準備綜合一篇博文，以幫助自己記憶，原文：

http://www.cnblogs.com/steven_oyj/archive/2010/05/22/1741376.html

1、概念

????? 回溯算法實際上一個類似枚舉的搜索嘗試過程，主要是在搜索嘗試過程中尋找問題的解，當發現已不滿足求解條件時，就“回溯”返回，嘗試別的路徑。

?? 回溯法是一種選優搜索法，按選優條件向前搜索，以達到目標。但當探索到某一步時，發現原先選擇并不優或達不到目標，就退回一步重新選擇，這種走不通就退回再走的技術為回溯法，而滿足回溯條件的某個狀態的點稱為“回溯點”。

???? 許多復雜的，規模較大的問題都可以使用回溯法，有“通用解題方法”的美稱。

2、基本思想

???在包含問題的所有解的解空間樹中，按照深度優先搜索的策略，從根結點出發深度探索解空間樹。當探索到某一結點時，要先判斷該結點是否包含問題的解，如果包含，就從該結點出發繼續探索下去，如果該結點不包含問題的解，則逐層向其祖先結點回溯。（其實回溯法就是對隱式圖的深度優先搜索算法）。

?????? 若用回溯法求問題的所有解時，要回溯到根，且根結點的所有可行的子樹都要已被搜索遍才結束。

?????? 而若使用回溯法求任一個解時，只要搜索到問題的一個解就可以結束。

3、用回溯法解題的一般步驟：

??? （1）針對所給問題，確定問題的解空間：

??????????? 首先應明確定義問題的解空間，問題的解空間應至少包含問題的一個（最優）解。

??? （2）確定結點的擴展搜索規則

??? （3）以深度優先方式搜索解空間，并在搜索過程中用剪枝函數避免無效搜索。

4、算法框架

???? （1）問題框架

????? 設問題的解是一個n維向量(a1,a2,………,an),約束條件是ai(i=1,2,3,…..,n)之間滿足某種條件，記為f(ai)。

???? （2）非遞歸回溯框架

1: int a[n],i; 2: 初始化數組a[]; 3: i = 1; 4: while (i>0(有路可走) and (未達到目標)) // 還未回溯到頭 5: { 6: if(i > n) // 搜索到葉結點 7: { 8: 搜索到一個解，輸出； 9: } 10: else // 處理第i個元素 11: { 12: a[i]第一個可能的值； 13: while(a[i]在不滿足約束條件且在搜索空間內) 14: { 15: a[i]下一個可能的值； 16: } 17: if(a[i]在搜索空間內) 18: { 19: 標識占用的資源； 20: i = i+1; // 擴展下一個結點 21: } 22: else 23: { 24: 清理所占的狀態空間； // 回溯 25: i = i –1; 26: } 27: }

（3）遞歸的算法框架

???????? 回溯法是對解空間的深度優先搜索，在一般情況下使用遞歸函數來實現回溯法比較簡單，其中i為搜索的深度，框架如下：

1: int a[n]; 2: try(int i) 3: { 4: if(i>n) 5: 輸出結果; 6: else 7: { 8: for(j = 下界; j <= 上界; j=j+1) // 枚舉i所有可能的路徑 9: { 10: if(fun(j)) // 滿足限界函數和約束條件 11: { 12: a[i] = j; 13: ... // 其他操作 14: try(i+1); 15: 回溯前的清理工作（如a[i]置空值等）; 16: } 17: } 18: } 19: }

回溯法示例：

（1）深度優先算法（DFS）

這是數據結構中的基本算法

深度優先搜索DFS可描述為：

（1）訪問v0頂點；

（2）置?visited[v0]=1；

（3）搜索v0未被訪問的鄰接點w，若存在鄰接點w，則DFS(w)。

/* 圖的深度優先遍歷 出處：一條魚@博客園 http://www.cnblogs.com/yanlingyin/ 2011-12-26 */ #include <stdlib.h> #include <stdio.h>struct node /* 圖頂點結構定義 */ {int vertex; /* 頂點數據信息 */struct node *nextnode; /* 指下一頂點的指標 */ }; typedef struct node *graph; /* 圖形的結構新型態 */ struct node head[9]; /* 圖形頂點數組 */ int visited[9]; /* 遍歷標記數組 *//********************根據已有的信息建立鄰接表********************/ void creategraph(int node[20][2],int num)/*num指的是圖的邊數*/ {graph newnode; /*指向新節點的指針定義*/graph ptr;int from; /* 邊的起點 */int to; /* 邊的終點 */int i;for ( i = 0; i < num; i++ ) /* 讀取邊線信息，插入鄰接表*/{from = node[i][0]; /* 邊線的起點 */to = node[i][1]; /* 邊線的終點 *//* 建立新頂點 */newnode = ( graph ) malloc(sizeof(struct node));newnode->vertex = to; /* 建立頂點內容 */newnode->nextnode = NULL; /* 設定指標初值 */ptr = &(head[from]); /* 頂點位置 */while ( ptr->nextnode != NULL ) /* 遍歷至鏈表尾 */ptr = ptr->nextnode; /* 下一個頂點 */ptr->nextnode = newnode; /* 插入節點 */} }/********************** 圖的深度優先搜尋法********************/ void dfs(int current) {graph ptr;visited[current] = 1; /* 記錄已遍歷過 */printf("vertex[%d]\n",current); /* 輸出遍歷頂點值 */ptr = head[current].nextnode; /* 頂點位置 */while ( ptr != NULL ) /* 遍歷至鏈表尾 */{if ( visited[ptr->vertex] == 0 ) /* 如過沒遍歷過 */dfs(ptr->vertex); /* 遞回遍歷呼叫 */ptr = ptr->nextnode; /* 下一個頂點 */} }/****************************** 主程序******************************/ int main() {graph ptr;int node[20][2] = { {1, 2}, {2, 1}, /* 邊線數組 */{1, 3}, {3, 1},{1, 4}, {4, 1},{2, 5}, {5, 2},{2, 6}, {6, 2},{3, 7}, {7, 3},{4, 7}, {4, 4},{5, 8}, {8, 5},{6, 7}, {7, 6},{7, 8}, {8, 7} };int i;//clrscr();for ( i = 1; i <= 8; i++ ) /* 頂點數組初始化 */{head[i].vertex = i; /* 設定頂點值 */head[i].nextnode = NULL; /* 指針為空 */visited[i] = 0; /* 設定遍歷初始標志 */}creategraph(node,20); /* 建立鄰接表 */printf("Content of the gragh's ADlist is:\n");for ( i = 1; i <= 8; i++ ){printf("vertex%d ->",head[i].vertex); /* 頂點值 */ptr = head[i].nextnode; /* 頂點位置 */while ( ptr != NULL ) /* 遍歷至鏈表尾 */{printf(" %d ",ptr->vertex); /* 印出頂點內容 */ptr = ptr->nextnode; /* 下一個頂點 */}printf("\n"); /* 換行 */}printf("\nThe end of the dfs are:\n");dfs(1); /* 打印輸出遍歷過程 */printf("\n"); /* 換行 */puts(" Press any key to quit...");// getch(); }
代碼來自http://www.cnblogs.com/yanlingyin/archive/2011/12/26/Depth-firstsearch.html

（2）八皇后問題

這是一個以國際象棋為背景的問題：如何能夠在?8×8?的國際象棋棋盤上放置八個皇后，使得任何一個皇后都無法直接吃掉其他的皇后？為了達到此目的，任兩個皇后都不能處于同一條橫行、縱行或斜線上。八皇后問題可以推廣為更一般的n皇后擺放問題：這時棋盤的大小變為n×n，而皇后個數也變成n。當且僅當?n?= 1?或?n?≥?4?時問題有解。

八皇后問題一共有?92?個互不相同的解。如果將旋轉和對稱的解歸為一種的話，則一共有12個獨立解

基本思路如上面分析一致，我們采用逐步試探的方式，先從一個方向往前走，能進則進，不能進則退，嘗試另外的路徑。首先我們來分析一下國際象棋的規則，這些規則能夠限制我們的前進，也就是我們前進途中的障礙物。一個皇后q(x,y)能被滿足以下條件的皇后q(row,col)吃掉

1）x=row(在縱向不能有兩個皇后)

2)? y=col（橫向）

3）col + row = y+x;（斜向正方向）

4)? col - row = y-x;（斜向反方向）

遇到上述問題之一的時候，說明我們已經遇到了障礙，不能繼續向前了。我們需要退回來，嘗試其他路徑。

我們將棋盤看作是一個8*8的數組，這樣可以使用一種蠻干的思路去解決這個問題，這樣我們就是在8*8=64個格子中取出8個的組合，C(64,80) = 4426165368,顯然這個數非常大，在蠻干的基礎上我們可以增加回溯，從第0列開始，我們逐列進行，從第0行到第7行找到一個不受任何已經現有皇后攻擊的位置，而第五列，我們會發現找不到皇后的安全位置了，前面四列的擺放如下:

第五列的時候，擺放任何行都會上圖所示已經存在的皇后的攻擊，這時候我們認為我們撞了南墻了，是回頭的時候了，我們后退一列，將原來擺放在第四列的皇后（3，4）拿走，從（3，4）這個位置開始，我們再第四列中尋找下一個安全位置為（7，4），再繼續到第五列，發現第五列仍然沒有安全位置，回溯到第四列，此時第四列也是一個死胡同了，我們再回溯到第三列，這樣前進幾步，回退一步，最終直到在第8列上找到一個安全位置（成功）或者第一列已經是死胡同，但是第8列仍然沒有找到安全位置為止

總結一下，用回溯的方法解決8皇后問題的步驟為：

1）從第一列開始，為皇后找到安全位置，然后跳到下一列

2）如果在第n列出現死胡同，如果該列為第一列，棋局失敗，否則后退到上一列，在進行回溯

3）如果在第8列上找到了安全位置，則棋局成功。

8個皇后都找到了安全位置代表棋局的成功，用一個長度為8的整數數組queenList代表成功擺放的8個皇后，數組索引代表棋盤的col向量，而數組的值為棋盤的row向

量，所以(row,col)的皇后可以表示為(queenList[col],col),如上圖中的幾個皇后可表示為：

queenList[0] = 0;? queenList[1] = 3;?? queenList[2] = 1;? queenList[3] = 4;?? queenList = 2;

代碼：

<span style="font-size:12px;">/* * Copyright (c) leo * All rights reserved. * filename: nQueens * summary : * version : 1.0 * author : leo * date : 8.12.2011 *問題： * 在n*n (n=1 or n>=4 )的棋盤上放置n個皇后，如果在同一行，同一列，同一對角線上都不存在兩個皇后， * 那么這個棋盤格局就是n皇后的一個解。 *要求： * 找出n皇后的一組解即可，打印出放置滿足n皇后條件的棋子位置 */ #include<stdio.h> #include<math.h> #include<stdlib.h> #include<conio.h> #define N 8 //皇后數=棋盤行列數 int a[N]; //a[i]為第i行皇后所在列 void show() //圖形化輸出 {int i;int p,q ;int b[N][N]={0};static t=1;printf("第%d個解為: ",t++);for(i=0;i<N;i++){b[i][a[i]]=1;printf("(%d,%d) ",i,a[i]);}printf("\n");for(p=0;p<N;p++){for(q=0;q<N;q++){if(b[p][q]==1)printf("●");elseprintf("○");}printf("\n");} } int check(int n) //檢查位置是否合法，滿足條件返回1，否則返回0 {int i;for(i=0;i<n;i++){if(a[i]==a[n]||fabs(n-i)==fabs(a[i]-a[n])) //at the same column or diagonal (對角線)return 0;}return 1; } void put(int n) //主體部分，在第n行放置第n個皇后 {int i;if(n==N)return ;for(i=0;i<N;i++){a[n]=i;if(check(n)) //位置合法{if(n==N-1) //皇后全部放置完畢show();elseput(n+1);}} } int main () {put(0);return 0; }</span>

總結

以上是生活随笔為你收集整理的五大常用算法之回溯法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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