二元随机变量
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1二元隨機(jī)變量的定義
2二元離散型隨機(jī)變量的定義、聯(lián)合概率分布律、邊際分布律、條件分布律
3二元離散型隨機(jī)變量聯(lián)合概率分布律函數(shù)、邊際分布函數(shù)、條件分布函數(shù)
4二元連續(xù)型隨機(jī)變量的定義、聯(lián)合概率密度函數(shù)、邊際密度函數(shù)、條件密度函數(shù)
二元隨機(jī)變量
舉例:研究入學(xué)兒童的發(fā)育情況。從一個(gè)樣本(兒童)的身高、體重,兩個(gè)維度研究。這用面向?qū)ο蟮木幊探嵌壤斫忸愃朴谝粋€(gè)實(shí)體,有兩個(gè)屬性。
再個(gè)栗子:研究炮彈著點(diǎn)位置。每個(gè)樣本(位置)由橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)確定。
這兩個(gè)例子中每個(gè)樣本的兩個(gè)維度不是固定不變的,而是隨機(jī)變化的。入學(xué)兒童的年齡在樣本空間中就幾乎不變(在我們國家入學(xué)年齡7歲),入學(xué)年齡就不是隨機(jī)變量。
定義:設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn),樣本空間S={e},設(shè)X=X{e},Y=Y(e)是定義在S上的隨機(jī)變量,由它們構(gòu)成的向量(X,Y)稱為二元隨機(jī)變量,也稱二維隨機(jī)變量。
二元離散型隨機(jī)變量
定義:若二元隨機(jī)變量(X,Y)全部可能取到不同的值是有限對(duì),或者可列無數(shù)對(duì),則稱(X,Y)是二元離散型隨機(jī)變量。
二元離散型隨機(jī)變量的概率分布律
定義:若(X,Y)所有可能取值為(xi,yj)稱P(X=xi,Y=yj)=pij,i,j=1,2,3...為二元離散型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率分布律。也可簡(jiǎn)稱(X,Y)的分布律。
性質(zhì)
1 pij≥0。
2 ∑∞i=1∑∞j=1pij=1
3 P((X,Y)∈D)=∑xi,yj∈Dpij,其中pij=P(X=xi,Y=yj),i,j=1,2,3...
舉例
二元離散型隨機(jī)變量的邊際分布律
定義:離散型隨機(jī)變量(X,Y)的邊際分布律為P(X=xi)=∑∞j=1p(xi,yj),記為pi.,P(Y=yj)=∑∞i=1p(xi,yj),記為p.j。
二元離散型隨機(jī)變量的條件分布律
定義:(X,Y)是二元離散型隨機(jī)變量,對(duì)于固定的yj,如果P(Y=yj)>0(Y的邊際分布律>0),則稱P(X=xi|Y=yj)=P(X=xi,Y=yj)P(Y=yj)=pijp.j,i=i,2,3...,為在Y=yj條件下,隨機(jī)變量X的條件分布律。
同樣的,對(duì)于固定的xi,如果P(X=xi)>0,則稱P(Y=yj|X=xi)=P(X=xi,Y=yj)P(X=xi)=pijpi.,j=i,2,3...,為在X=xi條件下,隨機(jī)變量Y的條件分布律。
例子
二元隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)
定義:若(X,Y)是二元隨機(jī)變量,對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x,y二元函數(shù)F(x,y)=P(X≤x,Y≤y),稱為二元隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)。
二元離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù):F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)=∑xi≤x,yj≤yP(X=xi,Y=yj)。
性質(zhì):
1 F(x,y)關(guān)于x,y單調(diào)不遞減。
2 0≤F(x,y)≤1,F(?∞,+∞)=1
3 F(x,y)關(guān)于x,y右連續(xù),即 limε→0+F(x+ε,y)=F(x,y),limε→0+F(x,y+ε)=F(x,y)
4 如果x1<x<x2,y1<y<y2則有
P(x1<X≤x2,y1<Y≤y2)=F(x2,y2)?F(x2,y1)?F(x1,y2)+F(x1,y1)
二元隨機(jī)變量的邊際分布函數(shù)
定義:二元隨機(jī)變量(X,Y)關(guān)于X的邊際分布函數(shù)記為FX(x),關(guān)于Y的邊際分布函數(shù)記為FY(y)。
FX(x)=P(X≤x)=P(X≤x,Y<+∞)=F(x,+∞)=limy→+∞F(x,y)
FY(y)=P(Y≤y)=P(X<+∞,Y≤y,)=F(+∞,y)=limx→+∞F(x,y)
二元隨機(jī)變量的條件分布函數(shù)
定義:如果P(Y=y)>0,則在Y=y條件下,X的條件分布函數(shù)為FX|Y(x|y)=P(X≤x|Y=y)=P(X≤x,Y=y)P(Y=y),如果(X,Y)是離散型隨機(jī)變量,則P(Y=y)>0。
如果(X,Y)是連續(xù)型隨機(jī)變量,P(Y=y)=0,但是ε>0,P(y<Y<y+ε)>0,則在Y=y 條件下X的條件分布函數(shù)定義為FX|Y(x|y)=limε→0+P(X≤x|y<Y<y+ε)
二元連續(xù)型隨機(jī)變量
定義:對(duì)于二元隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)F(x,y),如果存在非負(fù)函數(shù)f(x,y),使得對(duì)于任意x,y 有F(x,y)=∫x?∞∫y?∞f(u,v)dudv,稱(X,Y)為二元連續(xù)型隨機(jī)變量,稱f(x,y)為二元隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)。
二元連續(xù)型隨機(jī)變量聯(lián)合概率密度函數(shù)
性質(zhì)
1 f(x,y)>=0
2 ∫+∞?∞∫+∞?∞f(x,y)dxdy=1,在幾何上z=f(x,y)表示空間的一個(gè)頂曲面,介于它和x0y平面的空間體積為1。
3 概率和。設(shè)D是xoy平面上的區(qū)域,點(diǎn)(X,Y)落在D內(nèi)的概率為P((X,Y)∈D)=∫∫Df(x,y)dxdy。P((X,Y)∈D)等于以D為底,曲面f(x,y)為頂面的柱體體積。
4 在f(x,y)的連續(xù)點(diǎn)(x,y),有F(x,y)的二階導(dǎo)=f(x,y)
二元連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)與分布函數(shù)之間就是積分與求導(dǎo)的關(guān)系了。
二元連續(xù)型隨機(jī)變量邊際概率密度函數(shù)
定義:對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y),概率密度函數(shù)為f(x,y),X,Y的邊際概率密度函數(shù)為:
fX(x)=∫+∞?∞f(x,y)dy
fY(y)=∫+∞?∞f(x,y)dx
要注意 對(duì)x積分的時(shí)候,y是不變的,x的邊界是:要找到 x自己的邊界以及與y的關(guān)系邊界的交集。對(duì)y積分的時(shí)候也一樣。
二元連續(xù)型隨機(jī)變量條件概率密度函數(shù)
定義:設(shè)二元隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為f(x,y),(X,Y)關(guān)于Y的邊際概率密度函數(shù)fY(y),若對(duì)于固定的y,fY(y)>0且fY(y)是連續(xù)的,則在Y=y的條件下,X的條件概率密度為:fX|Y(x|y)=f(x,y)fY(y)。
同理,若對(duì)于固定的X=x,且fX(x)連續(xù)的,在X=x的條件下,Y的條件概率密度為fY|X(y|x)=f(x,y)fX(x)。
二元均勻分布
定義:如果二元隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度函數(shù)在平面上的一個(gè)有界區(qū)域D內(nèi)是常數(shù),而在其他地方取值為0,則稱(X,Y)在D上服從均勻分布。
f(x,y)=???1A,(x,y)∈D0,other
A=D,也就是說在D上,f(x,y)=1/面積。
二元均勻分布的條件分布仍然是均勻分布。
二元正態(tài)分布
二元正態(tài)分布的兩個(gè)邊際分布函數(shù)都是一元正態(tài)分布,并且與ρ沒有關(guān)系。在X=x的條件下,Y的條件分布也是正態(tài)分布。
總結(jié)
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