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　1二元隨機(jī)變量的定義
　2二元離散型隨機(jī)變量的定義、聯(lián)合概率分布律、邊際分布律、條件分布律
　3二元離散型隨機(jī)變量聯(lián)合概率分布律函數(shù)、邊際分布函數(shù)、條件分布函數(shù)
　4二元連續(xù)型隨機(jī)變量的定義、聯(lián)合概率密度函數(shù)、邊際密度函數(shù)、條件密度函數(shù)
二元隨機(jī)變量
　舉例：研究入學(xué)兒童的發(fā)育情況。從一個(gè)樣本（兒童）的身高、體重，兩個(gè)維度研究。這用面向?qū)ο蟮木幊探嵌壤斫忸愃朴谝粋€(gè)實(shí)體，有兩個(gè)屬性。
　再個(gè)栗子：研究炮彈著點(diǎn)位置。每個(gè)樣本（位置）由橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)確定。
　這兩個(gè)例子中每個(gè)樣本的兩個(gè)維度不是固定不變的，而是隨機(jī)變化的。入學(xué)兒童的年齡在樣本空間中就幾乎不變（在我們國家入學(xué)年齡7歲），入學(xué)年齡就不是隨機(jī)變量。
　定義：設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，樣本空間S={e}，設(shè)X=X{e}，Y=Y(e)是定義在S上的隨機(jī)變量，由它們構(gòu)成的向量(X,Y)稱為二元隨機(jī)變量，也稱二維隨機(jī)變量。

二元離散型隨機(jī)變量
　定義：若二元隨機(jī)變量（X,Y）全部可能取到不同的值是有限對(duì)，或者可列無數(shù)對(duì)，則稱(X,Y)是二元離散型隨機(jī)變量。
　
二元離散型隨機(jī)變量的概率分布律
　定義：若(X,Y)所有可能取值為(xi,yj)稱P(X=xi,Y=yj)=pij,i,j=1,2,3...為二元離散型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率分布律。也可簡(jiǎn)稱(X,Y)的分布律。
　性質(zhì)
　1 pij≥0。
　2 ∑∞i=1∑∞j=1pij=1
　3 P((X,Y)∈D)=∑xi,yj∈Dpij，其中pij=P(X=xi,Y=yj)，i,j=1,2,3...
　舉例
　

二元離散型隨機(jī)變量的邊際分布律
　定義：離散型隨機(jī)變量(X,Y)的邊際分布律為P(X=xi)=∑∞j=1p(xi,yj)，記為pi.，P(Y=yj)=∑∞i=1p(xi,yj)，記為p.j。
　

二元離散型隨機(jī)變量的條件分布律
　定義：(X,Y)是二元離散型隨機(jī)變量，對(duì)于固定的yj，如果P(Y=yj)>0(Y的邊際分布律>0)，則稱P(X=xi|Y=yj)=P(X=xi,Y=yj)P(Y=yj)=pijp.j，i=i,2,3...，為在Y=yj條件下，隨機(jī)變量X的條件分布律。
　同樣的，對(duì)于固定的xi，如果P(X=xi)>0，則稱P(Y=yj|X=xi)=P(X=xi,Y=yj)P(X=xi)=pijpi.，j=i,2,3...，為在X=xi條件下，隨機(jī)變量Y的條件分布律。
　例子
　
　
　
　
　
二元隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)
　定義：若(X,Y)是二元隨機(jī)變量，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x,y二元函數(shù)F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)，稱為二元隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)。
　二元離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù):F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)=∑xi≤x,yj≤yP(X=xi,Y=yj)。
　性質(zhì)：
　1 F(x,y)關(guān)于x,y單調(diào)不遞減。
　2 0≤F(x,y)≤1，F(?∞,+∞)=1
　3 F(x,y)關(guān)于x,y右連續(xù)，即 limε→0+F(x+ε,y)=F(x,y)，limε→0+F(x,y+ε)=F(x,y)
　4 如果x1<x<x2，y1<y<y2則有
　P(x1<X≤x2,y1<Y≤y2)=F(x2,y2)?F(x2,y1)?F(x1,y2)+F(x1,y1)
　

二元隨機(jī)變量的邊際分布函數(shù)
　定義：二元隨機(jī)變量(X,Y)關(guān)于X的邊際分布函數(shù)記為FX(x)，關(guān)于Y的邊際分布函數(shù)記為FY(y)。
　FX(x)=P(X≤x)=P(X≤x,Y<+∞)=F(x,+∞)=limy→+∞F(x,y)
　FY(y)=P(Y≤y)=P(X<+∞,Y≤y,)=F(+∞,y)=limx→+∞F(x,y)

二元隨機(jī)變量的條件分布函數(shù)
　定義：如果P(Y=y)>0，則在Y=y條件下，X的條件分布函數(shù)為FX|Y(x|y)=P(X≤x|Y=y)=P(X≤x,Y=y)P(Y=y)，如果(X,Y)是離散型隨機(jī)變量，則P(Y=y)>0。
　如果(X,Y)是連續(xù)型隨機(jī)變量，P(Y=y)=0，但是ε>0,P(y<Y<y+ε)>0，則在Y=y 條件下X的條件分布函數(shù)定義為FX|Y(x|y)=limε→0+P(X≤x|y<Y<y+ε)

二元連續(xù)型隨機(jī)變量
　定義：對(duì)于二元隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)F(x,y)，如果存在非負(fù)函數(shù)f(x,y)，使得對(duì)于任意x,y 有F(x,y)=∫x?∞∫y?∞f(u,v)dudv，稱(X,Y)為二元連續(xù)型隨機(jī)變量，稱f(x,y)為二元隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)。
　
二元連續(xù)型隨機(jī)變量聯(lián)合概率密度函數(shù)
　性質(zhì)
　1 f(x,y)>=0
　2 ∫+∞?∞∫+∞?∞f(x,y)dxdy=1，在幾何上z=f(x,y)表示空間的一個(gè)頂曲面，介于它和x0y平面的空間體積為1。
　3 概率和。設(shè)D是xoy平面上的區(qū)域，點(diǎn)(X,Y)落在D內(nèi)的概率為P((X,Y)∈D)=∫∫Df(x,y)dxdy。P((X,Y)∈D)等于以D為底，曲面f(x,y)為頂面的柱體體積。
　4 在f(x,y)的連續(xù)點(diǎn)(x,y)，有F(x,y)的二階導(dǎo)=f(x,y)
　二元連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)與分布函數(shù)之間就是積分與求導(dǎo)的關(guān)系了。

二元連續(xù)型隨機(jī)變量邊際概率密度函數(shù)
　定義：對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)，概率密度函數(shù)為f(x,y)，X,Y的邊際概率密度函數(shù)為：
　fX(x)=∫+∞?∞f(x,y)dy
　fY(y)=∫+∞?∞f(x,y)dx
　要注意 對(duì)x積分的時(shí)候，y是不變的，x的邊界是：要找到 x自己的邊界以及與y的關(guān)系邊界的交集。對(duì)y積分的時(shí)候也一樣。
二元連續(xù)型隨機(jī)變量條件概率密度函數(shù)
　定義：設(shè)二元隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為f(x,y)，(X,Y)關(guān)于Y的邊際概率密度函數(shù)fY(y)，若對(duì)于固定的y，fY(y)>0且fY(y)是連續(xù)的，則在Y=y的條件下，X的條件概率密度為：fX|Y(x|y)=f(x,y)fY(y)。
　同理，若對(duì)于固定的X=x，且fX(x)連續(xù)的，在X=x的條件下，Y的條件概率密度為fY|X(y|x)=f(x,y)fX(x)。
　
　
二元均勻分布
　定義：如果二元隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度函數(shù)在平面上的一個(gè)有界區(qū)域D內(nèi)是常數(shù)，而在其他地方取值為0，則稱(X,Y)在D上服從均勻分布。
　f(x,y)=???1A,(x,y)∈D0,other
　A=D，也就是說在D上，f(x,y)=1/面積。
　二元均勻分布的條件分布仍然是均勻分布。
二元正態(tài)分布

　二元正態(tài)分布的兩個(gè)邊際分布函數(shù)都是一元正態(tài)分布，并且與ρ沒有關(guān)系。在X=x的條件下，Y的條件分布也是正態(tài)分布。
　

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的二元随机变量的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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