【問題描述】[中等]

【解答思路】

1. 暴力

首先明確如何判斷一個字符串是否為回文字符串。第一個字符與最后一個字符相同，第二個字符與倒數(shù)第二個字符相同…關(guān)于中心位置軸對稱。
本題要求一共有多少個回文子串，那么就需要判斷，索引[i, j]的子串是不是回文子串，遍歷所有這樣[i, j]進(jìn)行判斷就可以找到回文子串的總數(shù)。這是暴力的做法。
首先如何判斷[i, j]的子串是回文串，根據(jù)定義來判斷即可。
定義boolean isPalindrome(char[] chars, int start, int end)，第一個參數(shù)為原字符串的字符數(shù)組表示，第二第三個參數(shù)分別是字串的開始與結(jié)束索引。
在區(qū)間[start, end]上進(jìn)行雙指針的掃描，將關(guān)于中心位置對應(yīng)的字符進(jìn)行比較，如果發(fā)現(xiàn)有不相等說明不是回文子串。
循環(huán)結(jié)束沒有發(fā)現(xiàn)對應(yīng)位置不相等的字符，說明是回文串。
主函數(shù)中
外循環(huán)的i表示子串的長度，子串最長為s.length()，所以循環(huán)的條件為i <= s.length()。從長度2開始是因為，長度為1的子串都是回文子串，一共有s.length()個，最后加上即可。
內(nèi)循環(huán)j表示子串的開始索引，那么其結(jié)束索引為j + i - 1。調(diào)用函數(shù)isPalindrome進(jìn)行判斷。
最后返回result + s.length()，將長度為1的子串都是回文子串的計數(shù)也算進(jìn)行。

時間復(fù)雜度：O(N³) 空間復(fù)雜度：O(1)

public int countSubstrings(String s) {char[] chars = s.toCharArray();int result = 0;for (int i = 2; i <= s.length(); i++) {for (int j = 0; j + i - 1 < s.length(); j++)if (isPalindrome(chars, j, j + i - 1))result++;}return result + s.length();}private boolean isPalindrome(char[] chars, int start, int end) {for (int i = start, j = end; j > i; i++, j--) {if (chars[i] != chars[j])return false;}return true;}

2. 中心擴(kuò)展

回文字符串關(guān)于中心對稱，這個中心既可以是一個字符（比如子串的長度為奇數(shù)時），也可以是兩個字符的中間（比如子串的長度為偶數(shù)時）。那么對于長度為n的字符串，其子串的中心一共有**n+（n-1）**個，n個是字母，n-1個是兩個字母的間歇。
我們需要找到每一個可能的對稱中心有能向外擴(kuò)展出多少個回文子串。要想辦法表示每一個回文中心，外擴(kuò)的方式都一樣。
回文中心與子串的奇偶性有關(guān)，想必要分情況討論。
如果子串的長度為奇數(shù)，那么第一個子串只有一個字符，其左邊界left與右邊界right相等。
如果子串的長度為偶數(shù)，那么第一個子串有兩個字符，其左邊界left與右邊界right的關(guān)系為right = left + 1。
所以可以通過奇偶性來控制初始時left與right的關(guān)系。
循環(huán) for (int i = 0; i < chars.length * 2 - 1; i++)，i表示每一個可能的回文中心，通過i的奇偶性來設(shè)置初始的left, right。內(nèi)循環(huán)進(jìn)行外擴(kuò)，首先保證索引不超過數(shù)組邊界，其次當(dāng)前判斷的兩個字符相等。否則，當(dāng)前[left, right]不是回文子串，向外擴(kuò)的也不可能是。外擴(kuò)的方式就是使left–, right++。

時間復(fù)雜度：O(N²) 空間復(fù)雜度：O(1)

public int countSubstrings3(String s) {char[] chars = s.toCharArray();int result = 0;for (int i = 0; i < chars.length * 2 - 1; i++) { // 對每個可能的回文中心進(jìn)行循環(huán)int left = i / 2; // 當(dāng)中心是兩個字母的間歇時i%2 = 1；當(dāng)中心是字母時 left==right都落在該字母的位置int right = left + i % 2;while(left >= 0 && right < chars.length && chars[left] == chars[right]){left--;right++;result++;}}return result;}

3. 動態(tài)規(guī)劃

動態(tài)規(guī)劃流程
第 1 步：設(shè)計狀態(tài)
dp[i][j] i開始j結(jié)尾的是否為回文字符串
第 2 步：狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程

for(int i = s.length()-1; i>=0; i--){for(int j = i+1; j<s.length(); j++){if(s.charAt(i) == s.charAt(j)){//i和j相鄰的時候if(j - i == 1){dp[i][j] = true;}else{dp[i][j] = dp[i+1][j-1]}}else{dp[i][j] = false;}} }

第 3 步：考慮初始化

第 4 步：考慮輸出
統(tǒng)計 dp[i][j] = T 的個數(shù)

時間復(fù)雜度：O(N) 空間復(fù)雜度：O(1)

class Solution {public int countSubstrings(String s) {if(s == null || s.equals("")){return 0;}int n = s.length();boolean[][] dp = new boolean[n][n];int result = s.length();for(int i = 0; i<n; i++) dp[i][i] = true;for(int i = n-1; i>=0; i--){for(int j = i+1; j<n; j++){if(s.charAt(i) == s.charAt(j)) {//i和j相鄰的時候if(j-i == 1){dp[i][j] = true;}else{dp[i][j] = dp[i+1][j-1]; }}else{dp[i][j] = false;}if(dp[i][j]){result++;}}}return result;} }

2. Manacher 算法

時間復(fù)雜度：O(N) 空間復(fù)雜度：O(1)

class Solution {public int countSubstrings(String s) {int n = s.length();StringBuffer t = new StringBuffer("$#");for (int i = 0; i < n; ++i) {t.append(s.charAt(i));t.append('#');}n = t.length();t.append('!');int[] f = new int[n];int iMax = 0, rMax = 0, ans = 0;for (int i = 1; i < n; ++i) {// 初始化 f[i]f[i] = i <= rMax ? Math.min(rMax - i + 1, f[2 * iMax - i]) : 1;// 中心拓展while (t.charAt(i + f[i]) == t.charAt(i - f[i])) {++f[i];}// 動態(tài)維護(hù) iMax 和 rMaxif (i + f[i] - 1 > rMax) {iMax = i;rMax = i + f[i] - 1;}// 統(tǒng)計答案, 當(dāng)前貢獻(xiàn)為 (f[i] - 1) / 2 上取整ans += f[i] / 2;}return ans;} }

【總結(jié)】

1. 動態(tài)規(guī)劃流程

第 1 步：設(shè)計狀態(tài)
第 2 步：狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程
第 3 步：考慮初始化
第 4 步：考慮輸出
第 5 步：考慮是否可以狀態(tài)壓縮

2.暫時沒有掌握 Manacher 算法（馬拉車）

2.1 加# 變奇數(shù)長度 收尾加標(biāo)識
2.2 初始化 中心擴(kuò)展

3. 想好再下手 思考得多敲得少 邊敲邊想反而會耗費更多的時間

參考鏈接：https://leetcode-cn.com/problems/palindromic-substrings/solution/647java-bao-li-dpzhong-xin-kuo-zhan-xiang-jie-by-u/
參考鏈接：鏈接：https://leetcode-cn.com/problems/palindromic-substrings/solution/647-hui-wen-zi-chuan-dong-tai-gui-hua-fang-shi-qiu/
參考鏈接：https://leetcode-cn.com/problems/palindromic-substrings/solution/hui-wen-zi-chuan-by-leetcode-solution/

總結(jié)

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