文章出處：極客時(shí)間《數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法之美》-作者：王爭(zhēng)。該系列文章是本人的學(xué)習(xí)筆記。

1 背豆子的例子

假設(shè)我們有一個(gè)可以容納 100kg 物品的背包，可以裝各種物品。我們有以下 5 種豆子，每種豆子的總量和總價(jià)值都各不相同。為了讓背包中所裝物品的總價(jià)值最大，我們?nèi)绾芜x擇在背包中裝哪些豆子？每種豆子又該裝多少呢？

我們最直接的思路是算出每種豆子每kg的價(jià)值，按照價(jià)值從大到小排序。先裝價(jià)值高的。單價(jià)從高到低排列，依次是：黑豆、綠豆、紅豆、青豆、黃豆，所以，我們可以往背包里裝 20kg 黑豆、30kg 綠豆、50kg 紅豆。

2 貪心解決問(wèn)題的步驟

1 當(dāng)我們看到這類問(wèn)題的時(shí)候想到要用貪心：針對(duì)一組數(shù)據(jù)，定義限制值和期望值，希望從中選擇幾個(gè)數(shù)據(jù)，在滿足限制值的情況下，期望值最大。
例子中限制值是背包總?cè)萘?#xff0c;期望值是總價(jià)值最大。

2 我們嘗試看下這個(gè)問(wèn)題是否可以用貪心解決：每次選擇當(dāng)前情況下，在對(duì)限制值同等貢獻(xiàn)量的情況下，對(duì)期望值貢獻(xiàn)最大。
優(yōu)先選擇黑豆，在同樣裝1kg的時(shí)候，增加總價(jià)值最多。

3 我們舉幾個(gè)例子看下，用貪心得到的結(jié)果是不是最優(yōu)的。大部分情況下，舉幾個(gè)例子就可以，貪心的證明是非常復(fù)雜的。

3 貪心實(shí)戰(zhàn)例子

3.1 分糖果

有m個(gè)糖果，n個(gè)孩子。我們要把這個(gè)糖果分給孩子，一個(gè)孩子最多只能有一個(gè)糖果。糖果數(shù)量小于孩子數(shù)量。
每個(gè)糖果的大小也不同，這m個(gè)糖果的大小分別為s1、s2…sm。每個(gè)孩子對(duì)糖果的需求量不同，分別為t1、t2…tn。只有糖果大小大于等于孩子需求量的時(shí)候，孩子才能滿足。
怎么分配才能讓滿足更多的孩子。

限制值是：糖果的數(shù)量。期望值是：獲得滿足的孩子的個(gè)數(shù)越多越好。
我們嘗試用貪心解決。先滿足需求量低的孩子。因?yàn)樾枨罅康偷暮⒆痈菀诐M足，而且無(wú)論孩子需求量大小，滿足一個(gè)，就可以讓期望值加1。糖果按照從小到大排序，在滿足當(dāng)前孩子需求量的范圍內(nèi)選擇最小的糖果。更大的糖果應(yīng)該用來(lái)滿足需求量更大的孩子。糖果無(wú)論大小，分配一個(gè)，就是給限制值加1。
所以，分配方案是：孩子按照需求量從小到大排序，糖果選擇滿足需求量的最小的糖果。可以滿足更多的孩子。

3.2 錢幣找零

當(dāng)給別人找零的時(shí)候，我們希望找零的錢的數(shù)量越少越好。當(dāng)然，錢的總量是要足夠的。例如找25元，一張20+一張5元是最好的選擇。

3.3 區(qū)間覆蓋

假設(shè)我們有 n 個(gè)區(qū)間，區(qū)間的起始端點(diǎn)和結(jié)束端點(diǎn)分別是 [l1, r1]，[l2, r2]，[l3, r3]，……，[ln, rn]。我們從這 n 個(gè)區(qū)間中選出一部分區(qū)間，這部分區(qū)間滿足兩兩不相交（端點(diǎn)相交的情況不算相交），最多能選出多少個(gè)區(qū)間呢？

我們假設(shè)最左端是lmin，最右端是rmax。這就要求在[lmin,rmax]區(qū)間上找到數(shù)量更多的不重合的線段。我們按照左邊端點(diǎn)從小到大排序這幾個(gè)區(qū)間。每次選擇的時(shí)候左邊端點(diǎn)和前面已經(jīng)覆蓋的區(qū)間不重合，右邊端點(diǎn)又盡可能的小。這樣可以讓剩下的未覆蓋的區(qū)間更大，未來(lái)放置更多的區(qū)間段。

4 霍夫曼壓縮編碼

假設(shè)一篇文章有1000個(gè)字符，每個(gè)字符1個(gè)字節(jié)=8位。總共需要8000個(gè)bits。

如果這1000個(gè)字符只包含6種字符，分別為a、b、c、d、e、f。只需要3位就可以表示這6個(gè)字符。總共需要3000個(gè)bits。比最開(kāi)始空間減少了。

a(000)、b(001)、c(010)、d(011)、e(100)、f(101)

是否可以再壓縮呢？使用霍夫曼編碼。
霍夫曼編碼不僅考察文件中有多少種不同的字符，還統(tǒng)計(jì)不同字符的出現(xiàn)頻率。根據(jù)頻率不同，選擇不同長(zhǎng)度的編碼。根據(jù)貪心思想，字符頻率越高，使用的編碼稍短；字符頻率低，使用的編碼稍長(zhǎng)。當(dāng)編碼不等長(zhǎng)的時(shí)候，怎么從壓縮文件中讀字符呢？這個(gè)時(shí)候我們要求一個(gè)字符不能是另外一個(gè)字符的前綴。

假設(shè)這 6 個(gè)字符出現(xiàn)的頻率從高到低依次是 a、b、c、d、e、f。我們把它們編碼下面這個(gè)樣子，任何一個(gè)字符的編碼都不是另一個(gè)的前綴，在解壓縮的時(shí)候，我們每次會(huì)讀取盡可能長(zhǎng)的可解壓的二進(jìn)制串，所以在解壓縮的時(shí)候也不會(huì)歧義。經(jīng)過(guò)這種編碼壓縮之后，這 1000 個(gè)字符只需要 2100bits 就可以了。

4.1 設(shè)計(jì)霍夫曼樹

4.1.1 插入隊(duì)列，形成一棵樹

如何設(shè)計(jì)字符編碼呢？按照出現(xiàn)頻率由低到高排序。我們把每個(gè)字符看作一個(gè)節(jié)點(diǎn)，并且付帶著把頻率放到優(yōu)先級(jí)隊(duì)列中。我們從隊(duì)列中取出頻率最小的兩個(gè)節(jié)點(diǎn) A、B，然后新建一個(gè)節(jié)點(diǎn) C，把頻率設(shè)置為兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的頻率之和，并把這個(gè)新節(jié)點(diǎn) C 作為節(jié)點(diǎn) A、B 的父節(jié)點(diǎn)。最后再把 C 節(jié)點(diǎn)放入到優(yōu)先級(jí)隊(duì)列中。重復(fù)這個(gè)過(guò)程，直到隊(duì)列中沒(méi)有數(shù)據(jù)。

4.2 編碼

現(xiàn)在，我們給每一條邊加上畫一個(gè)權(quán)值，指向左子節(jié)點(diǎn)的邊我們統(tǒng)統(tǒng)標(biāo)記為 0，指向右子節(jié)點(diǎn)的邊，我們統(tǒng)統(tǒng)標(biāo)記為 1，那從根節(jié)點(diǎn)到葉節(jié)點(diǎn)的路徑就是葉節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)字符的霍夫曼編碼。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的算法六——贪心的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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