算法之矩陣計算斐波那契數列

本節內容

斐波那契介紹

普通方式求解斐波那契

矩陣概念

矩陣求冪

矩陣求解斐波那契

1.斐波那契介紹

斐波那契數列有關十分明顯的特點，那是：前面相鄰兩項之和，構成了后一項。即f(n)=f(n-1)+f(n-2),f(0)=0,f(1)=f(2)=1,推導下去f(3)=2,f(4)=3,f(5)=5。。。。。。

2.普通方式求解斐波那契

按照上面提供的推導公式，普通方式求解斐波那契數列代碼如下：

1 def normal(n): 2 a,b,c=0,1,1 3 while n: 4 a,b,c=b,c,b+c 5 n-=1 6 return a

?

使用上面的方式求解第n項斐波那契數列的時間復雜度為O(n),也就是說，時間復雜度隨著n的增長而線性增長。

3.矩陣概念

開始，先來介紹一下矩陣的概念：在數學中，矩陣（Matrix）是一個按照長方陣列排列的復數或實數集合，最早來自于方程組的系數及常數所構成的方陣。

這里不介紹矩陣的各方面知識了，如果那樣的話。。。就是一篇數學筆記了。。。這里只講解矩陣相乘的概念。

矩陣相乘：矩陣相乘最重要的方法是一般矩陣乘積。它只有在第一個矩陣的列數（column）和第二個矩陣的行數（row）相同時才有意義。一般單指矩陣乘積時，指的便是一般矩陣乘積。一個m×n的矩陣就是m×n個數排成m行n列的一個數陣。由于它把許多數據緊湊的集中到了一起，所以有時候可以簡便地表示一些復雜的模型。

設A為m*p的矩陣，B為p*n的矩陣，那么稱m*n的矩陣C為矩陣A與B的乘積，記作C=AB：

4.矩陣求冪

上面已經介紹過了矩陣相乘的概念了，那么，斐波那契該怎么由矩陣標示呢？

從第三項開始，每一項都是前兩項之和。 F(n)=F(n?1)+F(n?2), n?3 把斐波那契數列中 相鄰的兩項F(n)和F(n?1)寫成一個2×1的矩陣。

斐波那契數列用矩陣推導如下：

求F(n)等于求二階矩陣的n - 1次方，結果取矩陣第一行第一列的元素。

問題轉換為二階矩陣的n次冪。

而計算二階矩陣的N次冪運算，由于二階矩陣乘法滿足結合律，這樣，可以快速計算二階矩陣的n次冪運算。

假設A為一個二階矩陣，則A的冪運算滿足下面的條件：

A**6=A**3?A**3

A**7=A**3?A**3?A**1=A**4*A**2*A**1

在這里，我們可以類似地把A看做是二進制中的2，2**7=2**4*2**2*2**1也就是說可以把矩陣的冪轉換成二進制來表示。從而可以將n次冪拆解成長度為logn的二進制數來表示：7=111(二進制)。

這就是快速求二階矩陣的核心方法。

5. 矩陣求解斐波那契

前戲做足了，下面就該秀代碼了。

1 def multi(a,b): # 計算二階矩陣的相乘 2 c=[[0,0],[0,0]] # 定義一個空的二階矩陣 3 for i in range(2): 4 for j in range(2): 5 for k in range(2): # 新二階矩陣的值計算 6 c[i][j]=c[i][j]+a[i][k]*b[k][j] 7 return c 8 9 10 def matrix(n): 11 base=[[1,1],[1,0]] # 元矩陣，這里可以把元矩陣看做是2**0=1 12 ans=[[1,0],[0,1]] # 結果矩陣 最開始的結果矩陣也可以看做是1，因為這個矩陣和任意二階A矩陣相乘結果都是A 13 while n: 14 if n&1: # 取n的二進制的最后一位和1做與運算，如果最后一位是1，則進入if體內部 15 ans=multi(ans,base) # 如果在該位置n的二進制為1，則計算ans和base矩陣 16 base=multi(base,base) # base矩陣相乘，相當于初始base矩陣的冪*2 17 n>>=1 # n的二進制往右移一位 18 return ans[0][1] # 最后獲取到的二階矩陣的[0][1]即f(n)的值

?

最后把例子的完整代碼貼出來：

1 import time 2 3 4 def multi(a,b): 5 c=[[0,0],[0,0]] 6 for i in range(2): 7 for j in range(2): 8 for k in range(2): 9 c[i][j]=c[i][j]+a[i][k]*b[k][j] 10 return c 11 12 13 def matrix(n): 14 base=[[1,1],[1,0]] 15 ans=[[1,0],[0,1]] 16 while n: 17 if n&1: 18 ans=multi(ans,base) 19 base=multi(base,base) 20 n>>=1 21 # for i in range(2): 22 # print(ans[i]) 23 return ans[0][1] 24 25 def normal(n): 26 a,b,c=0,1,1 27 while n: 28 a,b,c=b,c,b+c 29 n-=1 30 return a 31 32 n=int(input(">>>")) 33 start=time.time() 34 print("Normal:",normal(n)) 35 print("use:",time.time()-start) 36 start=time.time() 37 print("Matrix:",matrix(n)) 38 print("use:",time.time()-start) 39 #計算結果 40 >>>65536 41 Normal: 731992144602...... 42 use: 0.07219505310058594 43 Matrix: 731992144602...... 44 use: 0.023076772689819336

?

可以看出來當n的值越來越大的時候，兩種方式計算出結果的時間差距將越來越大，正常的計算時間復雜度是O(n),矩陣求值的時間復雜度是O(logn)。

后記：

由此可以看出，使用推導式f(n)=f(n-1)+f(n-2)求斐波那契的第n項的算法復雜度極限為O(n)，這是一維世界下的極限。將其從一維上升到二維，用二階矩陣推導斐波那契數列時，計算的算法復雜度為O(logn)，也就是說，使用升維的手段將一維空間進行扭曲從而將距離縮短，可以更快的計算出結果。

由此推導出如果人來要突破光速的極限，需要將現有的三維空間升級到四維空間，扭曲空間從而縮短距離，達到突破光速的目的。

轉載于:https://www.cnblogs.com/huxianglin/p/5995649.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的算法之矩阵计算斐波那契数列的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。