系統動力學理論基本概念和構模主要過程與步驟

• 1.1 系統、模擬與模型

系統動力學中系統的定義：一個由相互區別、相互作用的諸元素有機地聯結在一起，而具有某種功能的集合體。（系統為相互作用諸單元的復合體）

模擬是對真實客觀事物內在結構及其運動、發展的動態行為的模仿。

系統動力學模型是按照系統動力學理論建立起來的數學模型，采用專用語言，借助數字計算機進行模擬分析研究，以處理行為隨時間變化的復雜系統的問題。

• 1.2 反饋系統
• 1.2.1 定義

反饋是指信息的傳輸與回授。

反饋可以從單元或子塊或系統的輸出直接聯至其相應的輸入，也可以經由媒介——其他單元、子塊，甚至其它系統實現。

• 1.2.2 反饋系統與反饋回路 ? ? ? ? ?

反饋系統是包含有反饋環節與其作用的系統。（閉環系統）

反饋回路是由一系列因果與相互作用鏈組成的閉合回路（由信息與動作構成的閉合路徑）。

???????????????????? 例1 恒溫系統 ????????????????????????????????????????? ??????? 例2 庫存-訂貨控制系統

• 1.2.3 反饋的作用與反饋系統的分類

沒有反饋的系統（比如開環系統）不能檢測到自身的行為，不能對其行為作出反應，也不能作自我調整。

正反饋特點：能產生自身運動的加強過程，在此過程中運動或動作所引起的后果將回授，使原來的趨勢得到增強。

負反饋特點：能自動尋求給定的目標，未達到（或未趨近）目標時將不斷作出回應。

具有正反饋特性的回路稱為正反饋回路，具有負反饋特性的回路稱為負反饋回路。分別以兩種回路起主導作用的系統則稱之為正反饋系統與負反饋系統。

???????????????????????? 例3 正反饋回路????????????????????????????????????????????????????? 例4 負反饋回路

• 1.3 系統的結構與描述
• 1.3.1 系統的結構

結構包含兩層意思，首先指組成系統的各單元，其次指各單元間的作用和關系。

系統動力學認為一階反饋回路是構成系統的基本結構。

系統結構一般存在以下體系與層次：

（1）確定系統S范圍的界限

（2）子系統或子結構Si(i=1,2,...,p)

（3）系統的基本單元，反饋回路結構Ej(j=1,2,...,m)

（4）反饋回路的組成與從屬成分：

???????? 反饋回路的主要變量——狀態變量和變化率（速率）。

系統界限是指系統范圍，規定了形成某特定動態行為所應包含的最小數量的單元。界限內為系統本身，界限外則為環境。

系統的基本結構是一階反饋回路。對應于系統的三個組成部分是單元、運動和信息。狀態變量的變化取決于決策或行動的結果。

決策的產生分為兩種：一種是依靠信息反饋的自我調節（生物界、社會經濟系統、機器系統），另一種是在一定條件下不依靠信息的反饋，而按照系統本身的某種特殊規律（非生物界）。

一個反饋回路就是由狀態、速率、信息三個基本部分組成的基本結構。一個復雜系統則按一定的系統結構由若干個相互作用的反饋回路所組成。

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???????????????????????????? 系統的基本機構之一????????????????????????????????????????? 系統的基本結構之二

• 1.3.2 系統的一般描述

（1）狀態

? ? ? ? ? 狀態是完整地描述系統的時域行為的最小一組變量。給定t=t0時該組變量的值及t大于等于t0時的輸入函數，則系統在t大于等于t0的任何瞬時行為就完全確定了。這樣一組變量稱為狀態變量，組成的向量稱為狀態向量。

（2）狀態空間

? ? ? ? ? 以狀態變量為坐標軸所張成的歐氏空間稱為狀態空間。各瞬刻系統的狀態則構成狀態空間中的一條軌線。

定常系統或時不變系統是時變系統的特殊情況。

當系統包含依賴于控制或擾動的項，不論是定常的或是非定常的，均稱之為強制系統。

當系統的狀態方程與輸出方程不受控制或擾動的影響時，則此類系統稱為自由系統。

• 1.3.3 系統動力學對系統的描述

系統動力學對系統的描述可歸納為如下兩步。

（1）首先，根據分解原理把系統S劃分為若干個相互關聯的子系統Si。各子系統之間的相互關系可通過關系矩陣的非主導元反映出來。在實際問題中系統內的某子系統與其他子系統的直接聯系是少量的、有限的，因此關系矩陣是分塊對角優勢的。

（2）其次，對子系統Si的描述。子系統由基本單元、一階反饋回路組成，一階反饋回路包含三種基本的變量：狀態變量、速率變量和輔助變量。這三種變量可分別由狀態方程、速率方程、輔助方程表示。

復雜系統中，機理尚不清楚，難于用數學描述表示的部分，稱為不良結構。不良結構只能半定量、半定性或定性。近年的優化是將不良結構相對地良化，用近似的良結構代替不良結構，或定性與定量結合把一部分定性問題定量化，尚無定量化與半定量化的部分則以定性的方法處理。

• 1.4 系統動力學的基本觀點

當系統行為出現指數規律增長趨勢時，是因為系統中有起主導作用的一階正反饋回路。當系統受到干擾偏離原來狀態又能自動返回并趨向起始狀態時，則表明系統中至少存在一個很強的一階負反饋回路。系統發生振蕩行為則表明系統存在二階以上的反饋回路或者一個一階負反饋回路加上一個一階以上的延時環節。S形增長特性則是一階正反饋回路與一階負反饋回路由非線性環節相聯結而產生的。

• 1.5 系統動力學分析、研究、解決問題的方法、主要過程與步驟
• 1.5.1 定性與定量結合，系統、分析、綜合、推理的方法

系統動力學研究問題的方法是定量與定性相結合，系統、分析、綜合與推理的方法。它是定性分析與定量分析的統一，以定性分析為先導，定量分析為支持，兩者相輔相成，螺旋上身逐步深化、解決問題的方法。

• 1.5.2 系統動力學解決問題的主要步驟

（1）用系統動力學的理論、原理和方法對被研究的對象進行系統全面的了解、調查分析

（2）進行系統的結構分析，劃分系統層次與子塊，確定總體與局部的反饋機制

（3）運用軟件建立定量、規范的軟件

（4）以系統動力學理論為指導，借助模型進行模擬與政策分析，進一步剖析系統得到更多信息，發現新的問題并反過來修改模型。

（5）檢驗評估模型

• 2 系統動力學構模原理、方法和模型體系的演進
• 2.1 動力學問題

動力學問題包含兩個特點：

（1）動態的，包含的量隨著時間變化。

（2）包含了反饋概念。

• 2.2 系統的界限

在邊界內部凡涉及與所研究的動態問題有重要關系的概念與變量均應考慮進模型。

按照SD的觀點，正確地劃出系統界限的一條準則是把系統中的反饋回路考慮成閉合的回路。

• 2.3 模型構思
• 2.3.1 構模原則

（1）明確建模的目的。

（2）集中于問題與矛盾，而不是整個系統。

（3）構模的另一條原則是系統動力學僅處理那些隨時間而變化和源自反饋結構的問題。

• 2.3.2 動態地定義問題

參考模式：指用圖形表示出重要變量，并用推論和繪出與這些最有關的其他重要的量，從而突出、集中地勾畫出有待研究的問題的發展趨勢與輪廓。可用來鑒定系統模型的有效性。

當沒有參考模式時，提出關于變更政策的影響，有經驗的構模者往往列舉有可能的政策極其影響。

• 2.4 圖像表示
• 2.4.1 系統框圖

先粗后細，先主后次。

• 2.4.2 因果與相互關系回路圖法

因果與相互關系回路圖往往用于：

（1）構思模型的初始階段

（2）非技術性地、直觀地描述模型結構，便于與不熟悉系統動力學的人進行交流討論。

普遍用于構思模型的初始階段，成熟的構模者可以不做。

因果關系圖的重要缺點：在因果關系圖中，為了簡便，忽略了信息反饋鏈與物質流的差別。

• 2.4.2.1 定義

圖中的個別因果鏈可標明其影響作用的性質。正號表明，箭頭指向的變量將隨著箭頭源發的變量的增加而增加、減少而減少；而負號表明變量間取與此相反的關系。但正負號并不表示變量間存在比例關系。

• 2.4.2.2 回路極性

確定回路極性的原則：

（1）若反饋回路包含偶數個負的因果鏈，則極性為正

（2）若反饋回路包含奇數個負的因果鏈，則極性為負

反饋回路的極性取決于回路中因果鏈符號的乘積。

• 2.4.3 流圖法

速率或稱變化率，隨著時間的推移，使狀態變量的值增或減。

仿真中云狀的符號表示源(sources)與漏與溝(sinks)，它們代表輸入與輸出狀態或稱位(level)的一切物質。

流圖能清楚區分信息流與物質流。信息流用虛線表示，物質流用實線表示。

• 2.4.4 混合圖

混合圖就是在因果關系圖中，把狀態和速率變量表示出來。混合圖全部用實線表示。

• 2.4.5 圖解分析法

圖解法簡單、形象、清晰，它最可貴的特點在于能夠分析解決用一般線性分析解析方法無法解決的簡單非線性系統的問題。圖解法無法勝任對于復雜系統的分析研究任務。

• 3 Vensim建模基礎
• 3.1 概述

變化速率隨時間而變化時，計算機處理連續變量就是將它離散化，所以Vensim在模擬時會把連續的時間分割成小的時間間隔，在各小間隔內速率是固定的，然后逐段地加以計算，實際上是一個積分的過程。

• 3.2 變量與方程
• 3.2.1 變量

狀態變量：積累變量，是最終決定系統行為的變量，隨著時間的變化，當前時刻的值等于過去時刻的值加上這一段時間的變化量。

速率變量：是直接改變積累變量值的變量，反映積累變量輸入或輸出的速度，本質上和輔助變量沒有區別。

輔助變量：輔助變量由系統中其他變量計算獲得，當前時刻的值和歷史時刻的值是相互獨立的。

常量：常量值不隨時間變化。

外生變量：隨時間變化，但是這種變化不是由系統中其他變量引起的。

• 3.2.2 變量方程

（1）狀態變量方程

（2）速率方程

（3）輔助方程

外生變量影響到其他系統內生變量但不受內生變量影響，所以往往是關于時間t的函數。如天氣，就需要根據天氣預報建立關于t的表函數。

• 3.2.3 表函數（lookup function)

模型中往往需要描述某些變量之間的非線性關系，這很難通過簡單的變量之間運算組合來實現，比較方便的是能夠以圖形方式給出這種非線性關系。

建立表函數的一般步驟是：

（1）確定表函數中的自變量和因變量；

（2）明確變量的取值變化范圍，通常通過歷史數據和預測數據來確定；

（3）考慮曲線的形狀和斜率，在什么范圍內曲線是平緩的，什么范圍內曲線坡度高，要符合自變量和因變量之間的影響關系，其中正斜率表示正反饋，負斜率表示負反饋；

（4）選取合適的曲線端點、駐點、拐點；

（5）作出圖形，通常用x軸表示自變量，y軸表示因變量。

表函數曲線并不是一個光滑的曲線，它也是通過離散化來實現的。

簡單例子：十個x對應十個y。建立這些點之間的連線就可以描述這兩個變量之間的關系，在vensim中用Graph lookup editor 來實現這一功能。除了已給出的點，可用點之間的斜率求出。當自變量的值溢出表函數中的定義的范圍，那么vensim會默認溢出的自變量值對應的因變量輸出值為曲線的端點值，同時發出警告信息。解決這樣的問題可以通過擴大取值范圍來實現。

• 3.3 延遲、平滑和平滑函數
• 3.3.1 物質延遲

（1）DELAY1I：一階延遲

DELAY1I形式為：DELAY1I(input,delay time,initial value)

DELAY1I=LV(t)/DT

LV(t)=LV(t0)+

LV(t0)=IVxDT

IV表示initial value，DT表示delay time.

以DELAY1I替代一組方程，使用方便，缺點是狀態變量被隱含，不輸出它的結果。

（2）DELAY3I：三階延遲

（3）DELAY FIXED

• 3.3.2 物質延遲的階次

一階與三階曲線差別很大，增長模式全然不同，但三階曲線與六階甚至十二階曲線比無本質區別，只是程度上差異而已，同樣是S形模式。Vensim中備有一階函數和三階函數，而無更高階次的單個函數。若建模者認為確實有必要應用高于三階的延遲函數，可以用兩個三階函數串成六階函數。

• 3.3.3 平滑函數

SVAR(t)=SMOOTH[VAR(t),STIME]

其中，SVAR為平滑變量，VAR為待平滑變量，STIME為平滑時間。

• 3.3.4 信息延遲

類似于物質延遲。

• 3.4 函數
• 3.4.1 數學函數
• 3.4.2 邏輯函數

MAX, MIN, IF ELSE THEN

• 3.4.3 測試函數

（1）階躍函數

（2）斜坡函數

（3）脈沖函數

（4）正弦函數

（5）正態分布函數

• 3.5 輸出問題

動力學模擬軟件可以提供的輸出：

（1）時間序列的數據輸出。

（2）時間序列的圖形輸出。

（3）變量之間的關系圖。

（4）因果關系分析，以及反饋分析等靜態分析的輸出。

• 3.6 準確度與運行時間單位的選擇

選擇time step的經驗法則是，取其值為（0.1~0.5）倍的模型最小時間常數，取小于0.5倍可防止出現不合理的計算結果，但若取小于0.1倍則對于計算的準確度提高不大，且耗費大量的計算機時。

如計算最小時間常數為1/CONST=1/0.2=5，time step=(0.1~0.5)*5=0.5~0.25（分）。

• 4 一階系統
• 4.1 一階系統的數學描述

一階微分方程式等式右側保留一項，為指數增長規律或自然增長規律。

一階微分方程式等式右側保留兩項，曲線呈S形增長特性，通常稱為Sigmoid或logistic曲線。

• 4.2 一階系統的重要參數
• 4.2.1 指數增長及其參數

（1）指數增長方程式

其中，LEV(t)為狀態在t時的值，LEV(0)為狀態的初始值，CONST為比例常數。

（2）時間常數T

T=1/CONST,具有時間的量綱。

LEV(T)=2.73LEV(0),LEV(2T)=7.45LEV(0)

（3）倍增時間(doubling time)Td

倍增時間定義為變量由初始值倍增至二倍的初始值所需的時間。

推導可知，Td=0.69T，倍增時間約等于70%的時間常數T。

• 4.2.2 一階負反饋系統的重要參數

（1）方程式的基本形式

其中，LEV(t)為狀態在t時的值；LEV(0)為初始狀態值；GL為目標值；CONST為比例常數。

（2）時間常數T

?

表明在時間t內，狀態值與其目標值接近的程度。

表明在時間t內，狀態值與目標值之差距。

經過3倍的時間常數T之后狀態值接近目標值的程度已達大約95%，而經過4T后則約達99%。

（3）減半時間函數（或半衰期）（halving time)Th與時間常數T的關系

如果負反饋是指數衰減過程，狀態值減半所需時間

減半時間Th約等于0.69倍的系統時間常數T。

• 4.3 正反饋系統
• 4.3.1 正反饋的一般結構

流圖中的狀態變量LEV為單向流的物質積累。任何有關狀態數量上變動的信息，經速率RT控制進入LEV的流量。假定RT正比于LEV，RT等于LEV乘以常數CONST。若CONST=0.2，LEV的初始值為1，則系統的方程如下：

其中，DT為計算時間間隔（年）；CONST為常數（1/年）；LEV為狀態變量（單位）；RT為速率（單位/年）。

• 4.3.2 正反饋系統特征

（1）在相當長的時間內增長極慢，然后突然爆炸性地增長上去。

（2）超指數增長。

• 4.4 負反饋結構
• 4.4.1 負反饋結構基本方程式

負反饋結構基本方程式：

其中，LEV為狀態單位；RT為速率（單位/時間）；CONST為常數（1/時間）；DISC為偏差（單位）；GL為目標值（單位）。

• 4.4.2 系統特性

LEV隨時間變化的曲線包括兩個區段：瞬態和穩態。在瞬態區段中，LEV值與目標值GL不相等。此時LEV具有尋的與瞬變的特點。在穩態區則是接近或近似地達到目標值，穩定不變。RT也最終近似地達到0值。

• 4.5 負反饋系統的補償特性

負反饋系統具有力圖維持系統處于平衡狀態的特性。在最簡單的系統中，基于狀態值與目標值之差的速率發揮調節作用，驅動系統狀態趨向目標值。而時間常數決定系統對狀態變化的反應速度。

4.6 S形增長的反饋結構

S形增長包含了指數與漸進兩種增長過程。穩態區前的過渡區是由兩種明顯不同的增長過程組成，先是指數增長，繼之漸近增長。前者是正反饋起主導作用，后者是由負反饋起主導作用。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的系统动力学学习日记的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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