引用自：http://www.cnblogs.com/wu8685/archive/2010/12/21/1912347.html

　　遞歸算法時間復雜度的計算方程式一個遞歸方程：

　　

　　在引入遞歸樹之前可以考慮一個例子：

　　T(n) = 2T(n/2) + n²

　　迭代2次可以得：

　　T(n) = n²?+ 2(2T(n/4) + (n/2)^?2)

　　還可以繼續迭代，將其完全展開可得：

　　T(n) = n²?+ 2((n/2)^?2?+ 2((n/2²)²?+ 2((n/2³)^?2?+ 2((n/2⁴)^?2?+…+2((n/2ⁱ)^?2?+ 2T(n/2^{i + 1})))…))))　　……(1)

　　而當n/2ⁱ⁺¹?== 1時，迭代結束。

?

　　將(1)式小括號展開，可得：

　　T(n) = n²?+ 2(n/2)²?+ 2²(n/2²)^?2?+ … + 2ⁱ(n/2ⁱ)²?+ 2ⁱ⁺¹T(n/2ⁱ⁺¹)

　　這恰好是一個樹形結構，由此可引出遞歸樹法。

?

　　圖中的(a)(b)(c)(d)分別是遞歸樹生成的第1,2,3,n步。每一節點中都將當前的自由項n²留在其中，而將兩個遞歸項T(n/2) + T(n/2)分別攤給了他的兩個子節點，如此循環。

　　圖中所有節點之和為:

　　[1 + 1/2 + (1/2)²?+ (1/2)³?+ … + (1/2)ⁱ] n²?= 2n²

　　可知其時間復雜度為O(n²)

　　

　　可以得到遞歸樹的規則為：

　　(1) 每層的節點為T(n) = kT(n / m) + f(n)中的f(n)在當前的n/m下的值；

　　(2) 每個節點的分支數為k；

　　(3)每層的右側標出當前層中所有節點的和。

?

　　再舉個例子：

　　T(n) = T(n/3) + T(2n/3) + n

　　其遞歸樹如下圖所示：

　　

　　可見每層的值都為n，從根到葉節點的最長路徑是：

　　

　　因為最后遞歸的停止是在(2/3)^kn == 1.則

　　　　　　

　　于是

　　　　

　　即T(n) = O(nlogn)　

?

　　總結，利用此方法解遞歸算法復雜度：

　　f(n) = af(n/b) + d(n)

　　1.當d(n)為常數時：

　　

　　2.當d(n) = cn 時：

?　　

　　3.當d(n)為其他情況時可用遞歸樹進行分析。

　　

　　由第二種情況知，若采用分治法對原算法進行改進，則著重點是采用新的計算方法縮小a值。　　

總結

以上是生活随笔為你收集整理的求递归算法时间复杂度：递归树的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。