《算法之道》精華 經典算法部分

• 本書作者鄒恒明，作者另有一本書《數據結構之弦》，以及《操作系統之哲學原理》都是非常好的書
• 這本書能夠算得上是深入淺出，文筆非常好。作者加入了非常多自己的思考
• 本文包含經典算法部分

第十章 排序與次序

• 插入排序
  • 從無序部分抽取一張插入有序部分
  • 為原地排序。無需占用暫時存儲空間
  • 最優情況下為O(n)。平均O(n^2)
• 折半插入排序
  • 插入時使用二分查找
• 歸并排序
  • 分治，從中間分解，分別排序后進行細致的合并
  • 異地排序，須要占用額外空間
  • n>=30時性能比插入排序更好。

    復雜度固定為O(nlog(n))

• 快排
  • 分治，復雜的部分在于分解。而歸并復雜在于合并
  • 原地排序
  • 最壞情況為O(n^2)，但僅僅要不是每次都是最壞，復雜度就不是n^2，具有韌性
• 不論什么基于比較的排序，決策樹高度至少為nlog(n)
• 計數排序
  • 元素值范圍必須有限
  • 空間復雜度高
  • O(n)
• 基數排序
  • 從最低位到最高位排序，每一位排序都採用穩定排序，如計數排序
  • 一位排序應該選擇log(n)個比特。使總體成本最低
• 桶排序
  • 把n元素按值分到n個桶里，每一個桶內部進行插入排序。將各桶首位相連
  • 元素應該是均勻分布
• 高速次序選擇：求第K大的數
  • 使用快排的partition
  • 最差O(n^2)。平均O(n)
• 線性最差高速次序選擇
  • 將元素每5個一組。分別取中值。在n/5個中值里面找到中值，作為partition的pivot
  • 為什么*不每3個一組？
  • 保證pivot左邊右邊至少3n/10個元素
  • 最差O(n)

第十一章 搜索與散列

• 順序搜索
  • 在序列里面假設搜索頻率從頭到尾指數遞減。則為O(1)
• 折半搜索
  • 對于有序序列，為O(logn)
• 常數搜索：散列搜索
  • 直接散列：很easy，不會發生碰撞，空間浪費大
  • 除法（模除法）散列
    • 元素對散列表大小m取模得到
    • m必須為素數，否則造成不均勻散射。比方m包括因子d，而大部分元素對d余數相等
    • m不能靠近2的冪。如m為2的冪，散列結果將不依賴元素的全部位。靠近也不行，為什么？
  • 乘法散列
    • h(k) = (A * k ) % 2^r >> (w - r)。w為計算機字寬，A為2^(w-1)與2^w之間的一個奇數
    • 乘方取中法：乘方n次（常取n=2），取中間r位
• 開放尋址散列：散列碰撞時縱深擴展，加入一個鏈表
  • 平均搜索時間為O(1+a)，a為載入因子
• 封閉尋址散列：散列碰撞時為元素找到還有一個位置
  • 找還有一個位置的操作稱為探尋
  • 線性探尋
    • h(k,i) = (h'(k) + i) % m，h'(k)為家位
    • 向單方向尋找未被占用的位置
    • 易出現頂級聚集
  • 非線性探尋
    • 平方探尋?h(k,i) = (h'(k) + c1 * i + c2 * i^2) % m?易出現次級聚集
  • 雙重散列探尋
    • 使用兩個散列函數h1、h2來構造新散列函數
    • h(k,i) = (h1(k) + i * h2(k) ) mod m
  • 偽隨機探尋
    • 使用偽隨機序列
    • 存在次級聚集
  • 不成功搜索的探尋次數期望為1/(1-a)
  • 成功搜索探尋次數最多為1 / a * ln( 1/(1-a))
  • 封閉散列不能刪除元素。能夠放標記解決。假設插入相比搜索很稀疏，則能夠通過又一次散列解決空位問題
• 隨機化散列
  • 找到一組散列函數。每次隨機選擇一個不同的散列函數
  • 用于避免單個散列函數極端情況下聚集效應嚴重
  • 全域散列
    • 一組H個散列函數，將隨意兩個不同的元素映射到同一位置的函數個數為H/m
• 完美散列
  • n個元素。構造m=O(n)大小的散列表，使搜索最壞達到O(1)
  • 採用雙層散列，第一層大小n，第二層每一個表的大小為落到第一層位置i上的元素個數的平方
  • 空間消耗為O(n)

第十二章 最短路徑

• 假設圖中有負環，則不存在最短路徑
• 單源多點最短路徑
  • Dijkstra算法
    • 貪婪算法。要求不存在負路徑
    • 最優子結構：最短路徑里的每一段都是兩點之間的最短路徑
    • 貪婪選擇屬性：路徑向外延伸的下一個節點就是離源點近期的節點
    • 每次選取離源點近期的節點，更新全部與此節點相鄰節點的距離
    • 時間復雜度為O(V^2)。採用堆實現。能夠達到O(E log(V))。

      與Prim算法同樣

  • Bellman-Ford算法
    • 能夠應對負權重
    • 進行V-1輪降距，每次更新圖中全部邊
    • 復雜度為O(VE)
  • BFS
    • 各邊權重相等的情況
    • O(V+E)
• 多源多點最短路徑
  • Floyd-Warshall算法
    • 動態規劃算法
    • 子問題為從i到j，中間結點僅僅屬于集合1...k的最短路徑長度
    • c_ijk = min{c_ij(k-1), c_ik(k-1) + ckj(k-1)}|k
    • 復雜度O(n^3)
  • Jonhson算法
    • 等效變換為無負權重的圖，使用Dijkstra算法
    • 加入一個節點s，到全部點路徑長度為0，執行Bellman-Ford算法，對節點賦值
    • 對每一個節點執行Dijkstra算法
    • 復雜度主要是Dijkstra算法運算，為O(VE + V^2 log(V))
    • 若Bellman-Ford算法報告有負環存在，不能使用此方法

　　
　　

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總結

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