地理加權回歸

空間統計有別于經典統計學的兩大特征：空間相關性和空間異質性，莫蘭指數等可以用來量化空間相關性，那么地理加權回歸，就可以用來量化空間異質性。

1.地理加權回歸的出現：

1）因為地理位置的變化，而引起的變量間關系或結構的變化稱之為空間非平穩性（spatial nonstationarity)。——蝦神

在空間上出現的非平穩性，通常被認為由以下三個方面的原因引起的：

• 隨機抽樣的誤差引起的。抽樣誤差是無法避免的，也是無法觀察的，所以統計學上一般只假定它服從某一分布，沒必要去死糾這種變化，因為對分析本身的關系作用不大。
• 是由于各地區不同的自然環境、人文環境等差異所引起的變量間的關系隨著地理位置的變化而變化。這種變化反應是數據本身的空間特性，所以在空間分析中是需要著重注意的地方。
• 用于分析的模型與實際不符，或者忽略了模型中應有的一些回歸變量而導致的空間非平穩性。

2）為了解決空間非平穩性問題，以前的研究提出了三種方案：

• 第一就是所謂的局部回歸分析。（比如說按照行政區劃）
• 第二就是移動窗口回歸。（可以解決邊界跳崖式變化）
• 第三就是變參數回歸（也就是地理加權回歸的前身）

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2.地理加權回歸：

1）地理加權回歸的定義

地理加權和其他回歸分析一樣，首先要劃定一個研究區域，當然，通常這個區域也可以包含整個研究數據的全體區域（以此擴展，你可以利用空間關系（比如k-臨近），進行局部地理加權計算）……接下去最重要的就是利用每個要素的不同空間位置，去計算衰減函數，這個是一個連續的函數，有了這個衰減函數，當你把每個要素的空間位置（一般是坐標信息（x,y))和要素的值帶入到這個函數里面之后，就可以得到一個權重值，這個值就可以帶入到回歸方程里面去。

2）空間權重矩陣的確定

地理加權回歸里最重要的就是空間權重矩陣。

• 空間關系概念化
  空間權重矩陣用是空間關系概念化計算出來的：空間關系觀念一共有七個：
  
  無論是臨近方法，還是觸點方法，都會導致局部回歸的結果，也就是計算的區間不一樣，會導致樣本數量的變化，而全部加進來運算，又變成全局回歸了，所以在GWR中，能且能夠選擇的，只有距離方法了。

• GWR中最常用的權函數
  就是選擇一個連續單調的遞減函數來表示權重w和距離d之間關系，以此來克服反距離的缺點。

  • Gauss函數法

其中所謂的帶寬b，指的就是權重與距離之間函數關系的非負衰減參數，就像上面那個圖所示，帶寬越大，權重隨距離的增加衰減的越慢，帶寬越小，權重隨距離的增加衰減的就快。

• 近高斯函數
  但是，如果數據非常離散，帶來的結果就是有大量的數據躲得遠遠的，這種所謂的“長尾效應”會帶來大量的計算開銷，所以在實際運算中，應用的是近高斯函數來替代高斯計算，把那些沒有影響（或者影響很少）的點給截掉，以提高效率。

bi-square函數其實是距離閾值法和Gauss函數發法的結合。回歸點在帶寬的范圍內，通過高斯聯系單調遞減函數計算數據點的權重，超出的部分，權重全部記為0。

地理加權回歸對權函數的選擇不是很敏感，但是對于帶寬的變化卻非常敏感。帶寬過大會導致回歸參數的偏差過大，帶寬過小又會導致回歸參數的方差過大。

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3.帶寬的確定

• CV（交叉驗證）
  
  其中，
  
  表示在回歸參數估計的時候，不包括回歸點本身，只根據回歸點周邊的數據進行回歸參數計算，然后把不同的帶寬和不同的CV繪制成趨勢線，那么就可以找出CV值最小的時候，對應的最佳帶寬是多少了。

• AIC（最小信息準則）
  

當我們有一堆可供選擇的模型參數的時候，選擇AIC最小的那個就行……因為AIC的大小取決于獨立參數的個數和模型的極大似然函數兩個值，參數值少，AIC小，且極大似然函數大，AIC也小，參數少表示模型簡潔，極大似然函數大表示模型精確。因此AIC和修正的決定系數類似，在評價模型是兼顧了簡潔性和精確性。當兩個模型之間存在較大差異的時候，這個差異肯定首先出現在模型的極大似然函數上；而這個函數沒有出現顯著的差異的時候，模型的獨立參數個數才氣作用了，從而，參數個數越少的模型，表現得越好。也就是這個原因，這個準則才被稱為：最小信息準則。

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4.回歸結果解讀

• Bandwidth 或 Neighbors：是指用于各個局部估計的帶寬或相鄰點數目，并且可能是“地理加權回歸”的最重要參數。它控制模型中的平滑程度。通常，您將通過程序選擇所需的帶寬值或相鄰點值，方法是為帶寬方法參數選擇修正的 Akaike 信息準則 (AICc) 或交叉驗證 (CV)。這兩個選項都將嘗試識別最佳固定距離或最佳自適應相鄰點數目。由于“最佳”條件對于 AICc 和 CV 并不相同，因此通常會獲得不同的最佳值。
• ResidualSquares：指模型中的殘差平方和（殘差為觀測所得 y 值與 GWR 模型所返回的 y 值估計值之間的差值）。此測量值越小，GWR 模型越擬合觀測數據。此值還在其他多個診斷測量值中使用。（非常重要）
• EffectiveNumber（有效數量）：此值反映了擬合值的方差與系數估計值的偏差之間的折衷，與帶寬的選擇有關。帶寬接近無窮大時，每個觀測值的地理權重都將接近 1，系數估計值與全局 OLS 模型的相應值將非常接近。對于較大的帶寬，系數的有效數量將接近實際數量；局部系數估計值將具有較小的方差，但偏差將非常大。相反，帶寬接近零時，每個觀測值的地理權重都將接近零（回歸點本身除外）。對于非常小的帶寬，系數的有效數量為觀測值的數量，局部系數估計值將具有較大方差但偏差較低。該有效數量用于計算多個診斷測量值。
• Sigma：此值為正規化剩余平方和（剩余平方和除以殘差的有效自由度）的平方根。它是殘差的估計標準差。此統計值越小越好。Sigma 用于 AICc 計算。
• AICc：這是模型性能的一種度量，有助于比較不同的回歸模型。考慮到模型復雜性，具有較低 AICc 值的模型將更好地擬合觀測數據。AICc 不是擬合度的絕對度量，但對于比較適用于同一因變量且具有不同解釋變量的模型非常有用。如果兩個模型的 AICc 值相差大于 3，具有較低 AICc 值的模型將被視為更佳的模型。將 GWR AICc 值與 OLS AICc 值進行比較是評估從全局模型 (OLS) 移動到局部回歸模型 (GWR) 的優勢的一種方法。
• R2：R 平方是擬合度的一種度量。其值在 0.0 到 1.0 范圍內變化，值越大越好。此值可解釋為回歸模型所涵蓋的因變量方差的比例。R2 計算的分母為因變量值平方和。向模型中再添加一個解釋變量不會更改分母但會更改分子；這將出現改善模型擬合的情況（但可能為假象）。
• R2Adjusted：由于上述 R2 值問題，校正的 R 平方值的計算將按分子和分母的自由度對它們進行正規化。這具有對模型中變量數進行補償的效果，因此校正的 R2 值通常小于 R2 值。但是，執行此校正時，無法將該值的解釋作為所解釋方差的比例。在 GWR 中，自由度的有效值是帶寬的函數，因此與像 OLS 之類的全局模型相比，校正程度可能非常明顯。因此，AICc 是對模型進行比較的首選方式。

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參考文獻：
1.《白話空間統計：地理加權回歸系列》——大蝦盧
2.《ArcGIS Desktop 幫助文檔》

總結

以上是生活随笔為你收集整理的地理加权回归简易总结的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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