靜態主席樹總結(靜態區間的ｋ大)

首先我們先來看一道題

給定N個正整數構成的序列，將對于指定的閉區間查詢其區間內的第K小值。 輸入格式： 第一行包含兩個正整數N、M，分別表示序列的長度和查詢的個數。 第二行包含N個正整數，表示這個序列各項的數字。 接下來M行每行包含三個整數 l, r, kl,r,k , 表示查詢區間[l, r][l,r] 內的第k小值。 輸出格式： 輸出包含k行，每行1個正整數，依次表示每一次查詢的結果

對于100%的數據滿足：\(1 \leq N, M \leq 2\cdot 10^5\) \(1≤N,M≤2?10^5\)
對于數列中的所有數\(a_i\),都有\(-10^9\leq a_i\leq 10^9\)

基本思路

這個題目看上去很像一道線段樹或者樹狀數組之類的裸題，但是仔細想想，區間第\(k\)小是線段樹等數據結構維護不了的，這個時候，我們就需要引進一種新的數據結構，就是可持久化線段樹，也就是主席樹。(可持久化數據結構是可以訪問歷史版本的，這里也可以做到，但是這里不需要訪問歷史版本，我們只利用可持久化數據結構的思想)
主席樹的本質上是N顆值域線段樹(不知道值域線段樹的請自行轉走)，對于每一顆線段樹我們都維護從序列開始到這個元素的值域(即第\(i\)顆線段樹維護的區間是第一號元素到第\(i\)號元素的值域)。
但實際上我們沒有那么多時間和空間去維護\(n\)顆線段樹，所以我們就要想，每一顆線段樹由于值域相同，它們的形狀是完全相同的，并且對于一顆第\(i\)顆線段樹來說，它相對于第\(i-1\)顆線段樹只增加了一個值，放在值域中，也就只有包含這個值的log個節點不同，所以對于每一顆線段樹，我們只需要新開\(log\)個節點,其它的節點就用第\(i-1\)顆線段樹的節點(如果你會可持久化數組，就會發現這其實跟可持久化數組很像,準確的說可持續化數組的模型就是主席樹)。

注意要離散化
實現過程
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構建

我們先開一個root數組來保存每一顆線段樹的根，對于每一個線段樹的節點記錄它的值，左兒子和右兒子的編號，在構建第i顆線段樹時，我們要同時訪問第i-1顆線段樹，每次構建一個節點之后，對于不包含這個新增值的兒子我們就直接將第i-1顆線段樹的相應的那個兒子作為第i顆線段樹的這個兒子。

比如說，假設離散化之后的值域是1~5，第i號元素是1,我們先構建根節點，然后發現這個節點左兒子的值域是1~2,右兒子的值域是3~5，右兒子的值域不包括1,所以右兒子就直接用第i-1顆線段樹的右兒子，而此時我們就新建一個節點作為這個節點的左兒子，值為第i-1顆線段樹的左兒子的值+1。

int modify(int l,int r,int x,int k){//x表示上一顆線段樹當前節點的標號//k表示需要新增的元素int y=++cnt;//新建當前節點，y位編號t[y]=t[x];//將上一顆線段樹的節點的信息傳遞給當前節點t[y].x++;/*因為不包含k的節點不會被訪問，所以實質上只要被訪問過的節點都要加1*/if(l==r)return y;int mid=(l+r)>>1;if(k<=mid)t[y].l=modify(l,mid,t[x].l,k);else t[y].r=modify(mid+1,r,t[x].r,k);/*根據k值修改左右兒子信息*/return y;//將當前節點的編號號返回上一層}

查詢

主席樹的查詢跟值域線段樹的查詢差不多，值域線段樹的查詢大家都會吧，我這里就不再贅述，不過，主席樹每次需要同時查詢兩顆線段樹，如果我們需要查詢\([l,r]\)閉區間中第\(k\)小的值，我們就查詢第\(l-1\)顆線段樹和第\(r\)顆線段樹的信息，由于所有線段樹維護的值域完全一樣，所以我們可以用第r顆線段樹詢問到的值減去第\(l-1\)顆線段樹的值，就可以得出\([l,r]\)閉區間的值。(注意：你查詢到的是離散之后的值，你需要輸出的是離散之前的值)

具體實現過程

int query(int l,int r,int la,int no,int k){//la,no,分別表示你要查詢的兩顆線段樹的相應節點編號if(l==r)return l;/*如果節點內只有一個值，這就是第k大，直接返回*/int l1=t[la].l,l2=t[no].l,r1=t[la].r,r2=t[no].r;//l1,r1,l2,r2分別表示這兩個節點的左右兒子。int s=t[l2].s-t[l1].s , mid=(l+r)>>1;if(s>=k)return query(l,mid,l1,l2,k);else return query(mid+1,r,r1,r2,k-s);}

代碼

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;inline int gi(){char a=getchar();int b=0;while(a<'0'||a>'9')a=getchar();while(a>='0'&&a<='9')b=b*10+a-'0',a=getchar();return b;}const int N=1e6+20;struct ljq{int x,id;}b[N];struct tree{int l,r,s;}t[N*5];int cmp(ljq x,ljq y){return x.x<y.x;}int a[N],p[N],root[N],n,m,cnt;void work1(){n=gi();m=gi();for(int i=1;i<=n;++i)b[i].x=gi(),b[i].id=i;sort(b+1,b+n+1,cmp);b[0].x=-2e9;for(int s=0,i=1;i<=n;++i){if(b[i].x!=b[i-1].x)p[++s]=b[i].x;a[b[i].id]=s;}}void bt(int l,int r,int x){if(l==r)return;int mid=(l+r)>>1;t[x].l=++cnt;t[x].r=++cnt;bt(l,mid,t[x].l);bt(mid+1,r,t[x].r);}void work2(int l,int r,int la,int no,int x){t[no].s=t[la].s+1;if(l==r)return;int mid=(l+r)>>1;t[no].l=t[la].l;t[no].r=t[la].r;if(x<=mid){t[no].l=++cnt;work2(l,mid,t[la].l,t[no].l,x);}else{t[no].r=++cnt;work2(mid+1,r,t[la].r,t[no].r,x);}}/*這個構建主席樹的實現過程和上面略有不同，上面的更方便，是我在打帶修改的主席樹的時候寫的，這里我懶得改了，僅做參考*/int query(int l,int r,int la,int no,int k){if(l==r)return l;int l1=t[la].l,l2=t[no].l,r1=t[la].r,r2=t[no].r;int s=t[l2].s-t[l1].s,mid=(l+r)>>1;if(s>=k)return query(l,mid,l1,l2,k);else return query(mid+1,r,r1,r2,k-s);}int main(){work1();root[0]=++cnt;bt(1,n,1);for(int i=1;i<=n;++i){root[i]=++cnt;work2(1,n,root[i-1],root[i],a[i]);}while(m--){int l=gi(),r=gi(),k=gi();int x=query(1,n,root[l-1],root[r],k);printf("%d\n",p[x]);}return 0;}

轉載于:https://www.cnblogs.com/ljq-despair/p/8639345.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的静态主席树总结(静态区间的ｋ大)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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