圖論之-Python NetworkX 入門

1：圖論概述

1.1圖論基本概念

1圖

一個圖G = (V, E)由一些點及點之間的連線(稱為邊)構(gòu)成，V、E分別計G的點集合和邊集合。在圖的概念中，點的空間位置，邊的區(qū)直長短都無關(guān)緊要，重要的是其中有幾個點以及那些點之間有變相連。

圖1：圖示例

2有向圖和無向圖

最基本的圖通常被定義為“無向圖”，與之對應(yīng)的則被稱為“有向圖”。兩者唯一的區(qū)別在于，有向圖中的邊是有方向性的。

圖2：有向圖和無向圖

注：上圖左邊為無向圖，右邊為有向圖。黑色加粗部分表示邊的方向。比如：1—>2便是邊是1到2這個方向。

3圖的度

度是相對于圖中點的概念，圖中任意一點v的度是指：與v相連的邊的條數(shù)。在有向圖中與頂點v出關(guān)聯(lián)的邊的數(shù)目稱為出度，與頂點v入關(guān)聯(lián)的邊的數(shù)目稱為入度。比如上圖2：左邊無向圖頂點2的度是3.右邊有向圖點點2的出度是2，入度是1.

4圖的連通性

在圖G中，若頂點u，v之間有路(即找到有u到v之間相連的邊)則稱u，v連通。若G的任何兩點之間有路，則稱G是連通圖。G的極大連通子圖稱為連通分支。如果連通圖是有向圖則稱G是強連通的。

5圖的最短路徑

在圖上任取兩頂點，分別作為起點和終點，我們可以規(guī)劃許多條由起點到終點的路線。不會來來回回繞圈子、不會重復(fù)經(jīng)過同一個點和同一條邊的路線，就是一條“路徑”，這些路徑中經(jīng)過頂點最少的那個路徑就是最短路徑。

6圖的簡單路徑

如果路徑上的各頂點均不互相重復(fù)，稱這樣的路徑為簡單路徑。如果路徑上的第一個頂點與最后一個頂點重合，這樣的路徑稱為回路(cycle)或環(huán)或圈。比如下圖中：(1，2，3，4，5，1)，(1，2，3，1)，(1，3，4，5，1)等都是簡單路徑。

圖3：簡單路徑

7圖的偏心距(eccentricity)

一個節(jié)點的偏心距就是這個節(jié)點到其他節(jié)點的所有節(jié)點的最短路徑的最大值。

8圖的直徑和半徑

圖的所有節(jié)點偏心距的最大值就是圖的直徑，最小值就是半徑。

9圖的緊密中心性(closeness)

在圖論中，緊密度是圖中一個節(jié)點的中心性度量。比其他節(jié)點更“淺”(也就是說，有更短的測地距離)的節(jié)點有更高的緊密度。在網(wǎng)絡(luò)分析中，緊密度傾向于表示最短路徑長度，因為這樣會有更多的中心節(jié)點賦予更高的值，而且通常與其他度量(比如：度)相聯(lián)系。緊密度是中心性的一種復(fù)雜度量。它被定義為節(jié)點v到其它可達(dá)節(jié)點的平均測地距離(比如：最短路徑)：

其中當(dāng)n>=2是從v出發(fā)在網(wǎng)絡(luò)中連通部分V的大小。接近中心性需要考量每個結(jié)點到其它結(jié)點的最短路的平均長度。也就是說，對于一個結(jié)點而言，它距離其它結(jié)點越近，那么它的中心度越高。一般來說，那種需要讓盡可能多的人使用的設(shè)施，它的接近中心度一般是比較高的。

10圖的介數(shù)中心性(Betweenness Centrality)

對于n各節(jié)點的圖G=(V, E)，節(jié)點v的介數(shù)CB(v)按如下方式計算：

對于每對節(jié)點(s, t)，計算他們之間所有的最短路徑；

對于每對節(jié)點(s, t)，通過判斷(here, 節(jié)點v)求出它在最短路徑上的部分；

對每對節(jié)點(s, t)求出的部分進行累加

公式表示為：

其中：σst是s到t的最短路徑數(shù)，σst()是s到t的最短路徑中經(jīng)過v的數(shù)量。它可以除以不包括節(jié)點v的節(jié)點數(shù)量(對于無向圖是(n-1)(n-2)/2有向圖是(n-1)(n-2)類歸一化。)中介中心性指的是一個結(jié)點擔(dān)任其它兩個結(jié)點之間最短路的橋梁的次數(shù)。一個結(jié)點充當(dāng)“中介”的次數(shù)越高，它的中介中心度就越大。

11圖的度中心性

度中心性(Degree Centrality)是在網(wǎng)絡(luò)分析中刻畫節(jié)點中心性(Centrality)的最直接度量指標(biāo)。一個節(jié)點的節(jié)點度越大就意味著這個節(jié)點的度中心性越高，該節(jié)點在網(wǎng)絡(luò)中就越重要。

1.2圖論基本算法

1圖遍歷之BFS算法(廣度優(yōu)先搜索)

算法步驟：

首先選擇一個頂點作為起始節(jié)點，并將其染成灰色，其余結(jié)點為白色。

將起始結(jié)點放入隊列中。

從隊列首部選出一個頂點，并找出所有與之鄰接的結(jié)點，將找到的鄰接結(jié)點放入隊列尾部，將已訪問過結(jié)點涂成黑色，沒訪問過的結(jié)點是白色。如果頂點的顏色是灰色，表示已經(jīng)發(fā)現(xiàn)并且放入了隊列，如果頂點的顏色是白色，表示還沒有發(fā)現(xiàn)?。

按照同樣的方法處理隊列中的下一個結(jié)點。

例如：下圖

圖：BFS搜索

從上圖節(jié)點1開始搜索，染成灰色，其余白色。此時隊列中只有節(jié)點{1}

搜索1的鄰居節(jié)點2， 3，此時1出隊染成黑色表示已經(jīng)訪問，23入隊{2， 3}

搜索2的鄰居節(jié)點3， 4，節(jié)點3已經(jīng)在隊列所以2出隊染成黑色添加4進入隊列{3， 4}

搜索3的鄰居節(jié)點2，4，節(jié)點2已經(jīng)變黑表示已經(jīng)訪問，節(jié)點3出隊變成黑色4此時就在隊列{4}

搜索4的鄰居節(jié)點1，節(jié)點1已變成黑色。所以4出隊變成黑色。隊列為空。

此時1， 2， 3， 4， 都已經(jīng)變成黑色。還剩節(jié)點5，再從5開始搜索，結(jié)束。

2圖遍歷之DFS算法(深度優(yōu)先搜索)

算法步驟：

選擇起始頂點涂成灰色，表示還未訪問；

從該頂點的鄰接頂點中選擇一個，繼續(xù)這個過程(即再尋找鄰接結(jié)點的鄰接結(jié)點)，一直深入下去，直到一個頂點沒有鄰接結(jié)點了，涂黑它，表示訪問過了；

回溯到這個涂黑頂點的上一層頂點，再找這個上一層頂點的其余鄰接結(jié)點，繼續(xù)如上操作，如果所有鄰接結(jié)點往下都訪問過了，就把自己涂黑，再回溯到更上一層；

上一層繼續(xù)做如上操作，知道所有頂點都訪問過。

實例：用下圖作為說明

圖：DFS搜索

從節(jié)點1開始依次訪問1à2à 3之后終止于節(jié)點3；

從節(jié)點3回溯到節(jié)點2，從2à5終止于節(jié)點5；

從節(jié)點5回溯到2終止于2；

從節(jié)點2回溯到1并終止于1；

從頂點4開始訪問終止于4.

3Python實現(xiàn)BFS和DFS(基于無向圖)。

class Mygraph(object):

def __init__(self, *args, **kwargs):

self.node_neighbors = {}

self.visited = {}

def nodes(self):

return self.node_neighbors

def add_node(self, node):

if not node in self.nodes():

self.node_neighbors = []

def add_nodes(self, nodelist):

for node in nodelist:

self.add_node(node)

def add_edge(self, edge):

u, v = edge

if? u not in self.nodes():

self.node_neighbors[u] = []

if? v not in self.nodes():

self.node_neighbors[v] = []

if (v not in self.node_neighbors[u]) and (u not in self.node_neighbors[v]):

self.node_neighbors[u].append(v)

if u != v:

self.node_neighbors[v].append(u)

def add_edges(self, edges):

for edge in edges:

self.add_edge(edge)

def depth_first_search(self, root=None):

order = []

def dfs(node):

self.visited[node] = True

order.append(node)

for n in self.node_neighbors[node]:

if not n in self.visited:

dfs(n)

if root:

dfs(root)

for node in self.nodes():

if not node in self.visited:

dfs(node)

return order

def breath_first_search(self, root=None):

queue = []

order = []

def bfs():

while len(queue)>0:

node = queue.pop(0)

self.visited[node] = True

for n in self.node_neighbors[node]:

if (not n in self.visited) and (not n in queue):

queue.append(n)

order.append(n)

if root:

queue.append(root)

order.append(root)

bfs()

for node in self.nodes():

if not node in self.visited:

queue.append(node)

order.append(node)

bfs()

return order

if __name__=='__main__':

edges = [(1, 2), (1, 3), (2, 3),

(2, 5), (3, 4), (4, 2),

(4, 5), (5, 3)]

G = Mygraph()

G.add_edges(edges)

print(G.nodes())

print("廣度優(yōu)先遍歷：")

bfs_order = G.breath_first_search(1)

print(bfs_order)

G = Mygraph()

G.add_edges(edges)

dfs_order = G.depth_first_search(1)

print("深度優(yōu)先遍歷：")

print(dfs_order)

注：為什么創(chuàng)建圖寫了兩遍，因為只寫一次，進行廣度優(yōu)先訪問之后，有些會被標(biāo)記為TRUE，會影響后面深度訪問結(jié)果。

2：NetworkX入門

2.1Networkx概述與安裝

1概述

NetworkX是一款Python的軟件包，用于創(chuàng)造、操作復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，以及學(xué)習(xí)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)、動力學(xué)及其功能。 有了NetworkX你就可以用標(biāo)準(zhǔn)或者不標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)據(jù)格式加載或者存儲網(wǎng)絡(luò)，它可以產(chǎn)生許多種類的隨機網(wǎng)絡(luò)或經(jīng)典網(wǎng)絡(luò)，也可以分析網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，建立網(wǎng)絡(luò)模型，設(shè)計新的網(wǎng)絡(luò)算法，繪制網(wǎng)絡(luò)等等

2安裝

方式一：pip install networkx就行

方式二：安裝Anaconda，本身已經(jīng)集成了這個包，十分方便。

2.2Networkx使用

1創(chuàng)建圖添加節(jié)點和邊

G = nx.Graph() # 創(chuàng)建無向圖(nx.DiGraph() 創(chuàng)建有向圖)

G.add_node(0) # 添加一個節(jié)點

G.add_nodes_from([1, 2])# 一次添加多個節(jié)點

G.add_edge(0, 1) # 添加一條邊

G.add_edge(2, 3) # 如果邊的節(jié)點已經(jīng)存在，直接覆蓋

G.add_edge(4, 5) # 如果邊的節(jié)點不存在，則添加新節(jié)點

G.add_edges_from([(2, 1), (5, 1), (0, 4), (3, 4)]) #添加多條邊基于上面添加的節(jié)點和邊繪制有向圖和無向圖如下：

注：左圖表示有向圖，黑色加粗部分表示邊的方向。右圖表示無向圖沒有方向之分。圖的顯示還有兩個比較好用的工具就是Cytoscape和Gephi也比較好用，顯示圖像方便又美觀，其中Cytoscape可以讀取CSV文件，可以對圖進行拖拽。感興趣的朋友可以研究一下。

2求圖的常用屬性

讀取CSV文件獲取圖的邊集合列表

部分原始數(shù)據(jù)如圖：

計算圖的各種屬性

整體圖，看到所有人都是有聯(lián)系的，由于人物比較多，所以圖顯示不出具體的效果。

圖：整體關(guān)系圖

各個節(jié)點的度，也就是和其他節(jié)點連接的數(shù)量，越多表示人物在劇中的重要程度。從列表看出度數(shù)大的就是劇中的主角了。

圖：各個節(jié)點的度

節(jié)點的偏心距：任意一個節(jié)點到其他節(jié)點的最短路徑的最大值，可以看到基本上任意兩個人通過兩個三個人就能找到連通路徑，所以居中人物的關(guān)系還是比較密的。

圖：各個節(jié)點的偏心距

查看節(jié)點到另一節(jié)點或其他節(jié)點的最短路徑

查看節(jié)點到另一節(jié)點或其他節(jié)點的最短路徑的長度

緊密中心性：越大說明中心越強。

介數(shù)中心性:

上代碼：

import re

import networkx as nx

import matplotlib.pyplot as plt

def create_graph():

G = nx.Graph()

# G = nx.DiGraph()

G.add_node(0) # 添加一個節(jié)點

G.add_nodes_from([1, 2])# 一次添加多個節(jié)點

G.add_edge(0, 1) # 添加一條邊

G.add_edge(2, 3) # 如果邊的節(jié)點已經(jīng)存在，直接覆蓋

G.add_edge(4, 5) # 如果邊的節(jié)點不存在，則添加新節(jié)點

G.add_edges_from([(2, 1), (5, 1), (0, 4), (3, 4)]) #添加多條邊

nx.draw(G, pos=nx.spring_layout(G), with_labels=True)

plt.show()

def read_nodes(filename):

'''讀取文件，獲取邊列表'''

edges_list = []

with open(filename, 'r') as f:

while True:

line = f.readline()

if line:

line = re.sub('\r\n', '', line)

lines = line.split(',')

edges_list.append((lines[0], lines[1]))

edges_list.append((lines[1], lines[0]))

else:

break

return edges_list

‘’’注：因為networkx中求最大連通子圖的實現(xiàn)都是基于有向圖的，所以在讀取數(shù)據(jù)的時候，添加邊的時候都是雙向的，這樣保證求出來的最大連通子圖和無向圖是一樣的?！?/p>

def get_graph_attr(edges):

# 1根據(jù)邊的列表創(chuàng)建無向圖

G = nx.DiGraph()

G.add_edges_from(edges)

# 2 查看圖中的節(jié)點有多少個

nodes = G.nodes()

print(len(nodes)) # 107

# 2 求無向圖的最大連通子圖

max_component = max(nx.strongly_connected_component_subgraphs(G), key=len)# 最大連通子圖

print(len(max_component.nodes())) # 107最大連通子圖就是本身

# 3 將圖轉(zhuǎn)換為無向圖

G = nx.to_undirected(max_component)

# 4 計算圖中節(jié)點的度,按大小排序

degrees = G.degree() # 所有節(jié)點的度

print(sorted(degrees, key=lambda x:x[1], reverse=True))

# 5 計算圖的偏心距和直徑以及半徑

eccdis = nx.eccentricity(G) # 偏心距

print(eccdis)

diamter = max(eccdis.values()) # 直徑

radius = min(eccdis.values()) # 半徑

print(diamter, radius) # 6, 3

#5 計算圖中節(jié)點的最短路徑

path = nx.shortest_path(G, source='Jon')# 查看誰到誰的最短路徑

print(path)

path_length = nx.shortest_path_length(G, source='Jon')# 查看最短路徑的長度

print(path_length)

#6 計算圖中節(jié)點的緊密中心性

close = nx.closeness_centrality(G)#緊密中心性

print(close)

# 7 介數(shù)中心性

jie = nx.betweenness_centrality(G)

print(jie)

if __name__=='__main__':

filename = './inputdata/stormofswords.csv'

edges = read_nodes(filename)

get_graph_attr(edges)

3：Louvain算法+NetworkX之社團劃分實例

3.1Louvain算法原理

Louvain算法是基于模塊度的社區(qū)發(fā)現(xiàn)算法，該算法在效率和效果上都表現(xiàn)較好，并且能夠發(fā)現(xiàn)層次性的社區(qū)結(jié)構(gòu)，其優(yōu)化目標(biāo)是最大化整個社區(qū)網(wǎng)絡(luò)的模塊度。

模塊度：

模塊度是評估一個社區(qū)網(wǎng)絡(luò)劃分好壞的度量方法，它的物理含義是社區(qū)內(nèi)節(jié)點的連邊數(shù)與隨機情況下的邊數(shù)只差，它的取值范圍是?[?1/2,1)其公式如下：

其中，Aij節(jié)點i和節(jié)點j之間邊的權(quán)重，網(wǎng)絡(luò)不是帶權(quán)圖時，所有邊的權(quán)重可以看做是1；ki=∑jAij表示所有與節(jié)點i相連的邊的權(quán)重之和(度數(shù))；ci表示節(jié)點i所屬的社區(qū)；m=12∑ijAij表示所有邊的權(quán)重之和(邊的數(shù)目)。公式中Aij?kikj2m=Aij?kikj2m，節(jié)點j連接到任意一個節(jié)點的概率是kj2m，現(xiàn)在節(jié)點i有ki的度數(shù)，因此在隨機情況下節(jié)點i與j的邊為kikj2m.

算法步驟：

1)將圖中的每個節(jié)點看成一個獨立的社區(qū)，次數(shù)社區(qū)的數(shù)目與節(jié)點個數(shù)相同；

2)對每個節(jié)點i，依次嘗試把節(jié)點i分配到其每個鄰居節(jié)點所在的社區(qū)，計算分配前與分配后的模塊度變化ΔQ，并記錄ΔQ最大的那個鄰居節(jié)點，如果maxΔQ>0，則把節(jié)點i分配ΔQ最大的那個鄰居節(jié)點所在的社區(qū)，否則保持不變；

3)重復(fù)2)，直到所有節(jié)點的所屬社區(qū)不再變化；

4)對圖進行壓縮，將所有在同一個社區(qū)的節(jié)點壓縮成一個新節(jié)點，社區(qū)內(nèi)節(jié)點之間的邊的權(quán)重轉(zhuǎn)化為新節(jié)點的環(huán)的權(quán)重，社區(qū)間的邊權(quán)重轉(zhuǎn)化為新節(jié)點間的邊權(quán)重；

5)重復(fù)1)直到整個圖的模塊度不再發(fā)生變化。

圖：算法過程圖

3.2社團劃分實踐

基于2.2權(quán)利的游戲的任務(wù)關(guān)系網(wǎng)絡(luò)進行Louvain算法社團劃分。算法源碼參考2可以找到。這里就直接用了看下效果。

總共107個角色，劃分了6個社團。

參考：

https://blog..net/wizard_wsq/article/details/50628009

https://www..com/fengfenggirl/p/louvain.html

https://www.quora.com/Is-there-a-simple-explanation-of-the-Louvain-Method-of-community-detectio

https://blog..net/xuanyuansen/article/details/68941507

https://www..com/allanspark/p/4197980.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的networkx 有向图强连通_基于networkx分析Louvain算法的社团网络划分的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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