社區發現算法Louvain Fast unfolding of communities in large networks

一、社區發現

將復雜網絡劃分為若干個組，組內節點連接稠密，組間節點連接稀疏。這些組稱為社區(Community)，將復雜網絡劃分為社區的過程稱為社區發現(Community Detection)。

二、社區發現效果度量----模塊度(Modularity)

模塊度(modularity)用來評估一個網絡劃分的質量，其取值范圍介于-1至1間。在加權網絡中，模塊度的定義為
$$\begin{gathered} Q=\frac{1}{2m}\sum _{i,j}[A_{ij}?\frac{k_i{k}_j}{2m}]\delta (c_i,c_j) \\ \delta (u,v)=\{\begin{array}{l}1\text{if}u==v\\ 0\text{else}\end{array} \end{gathered}$$
其中，$A_{ij}$表示節點$i$和$j$之間邊的權重；$k_i={\sum }_j{A}_{ij}$表示所有與$i$相連邊的權重之和；$c_i$是頂點$i$所屬社區；$m=\frac{1}{2}{\sum }_{ij}{A}_{ij}$表示所有邊權重之和。

為了簡明的介紹模塊度的含義，這里對$Q$進行一些簡單的推斷
$$\begin{array}{rl}Q& =\frac{1}{2m}\sum _{i,j}[A_{ij}?\frac{k_i{k}_j}{2m}]\delta (c_i,c_j)\\ & =\frac{1}{2m}[\sum _{i,j}{A}_{i,j}?\sum _{i,j}\frac{k_i{k}_j}{2m}]\delta (c_i,c_j)\\ & =\frac{1}{2m}[\sum _{i,j}{A}_{i,j}\delta (c_i,c_j)?\sum _{i,j}\frac{k_i{k}_j}{2m}\delta (c_i,c_j)]\end{array}$$
其中

• $\frac{k_i{k}_j}{2m}$表示在保持所有節點度不變情況下，隨機進行邊連接后，節點$i$和節點$j$間邊的期望數；
• ${\sum }_{i,j}{A}_{i,j}\delta (c_i,c_j)$表示社區內部邊權重之和的2倍；(因為$i,j$和$j,i$都會被計數進來)
• ${\sum }_{i,j}\frac{k_i{k}_j}{2m}\delta (c_i,c_j)$表示隨機情況下社區內部邊權重之和的2倍；
• $\frac{1}{2m}{\sum }_{i,j}{A}_{i,j}\delta (c_i,c_j)$表示社區內部邊權重占總權重的比例；
• $\frac{1}{2m}{\sum }_{i,j}\frac{k_i{k}_j}{2m}\delta (c_i,c_j)$表示隨機情況下社區內部邊權重占總權重的比例；
• 模塊度的直觀理解：“社區內部邊的權重比例”減去“隨機放置邊情況下社區內部邊的權重比例”。內部權重比例越高，則表示社區內部的連接越緊密。此外，我們劃分的社區越好，則權重占比與隨機情況的差距也越大。

三、社區發現算法分類

• 分裂式社區發現算法：從網絡中刪除邊，從而形成社區；
• 遞歸聚合式社區發現算法：將相似節點進行合并，從而形成社區；
• 目標函數優化式社區發現算法：將社區發現看作是目標函數優化問題；

四、Louvain算法的流程

1. 目的

在Louvain之前的社區發現算法的速度太慢，或者速度快但效果不好。這導致社區發現算法很難應用在規模巨大的網絡上。Louvain作者發現許多大型網絡天然具有層次結構，并基于這個特性設計了Louvain算法。

2. 步驟

• (1). 將網絡中所有的節點看作是獨立的社區，此時社區數目與節點數目相等；
• (2). 對圖中的每個節點$i$，依次嘗試將其分配到相鄰節點所在社區，并計算分配前后模塊度的變化$\Delta Q$，并記錄下最大的$\Delta Q$；
• (3). 若最大的$\Delta Q>0$，則把節點$i$分配值最大$\Delta Q$所對應鄰居的社區；否則，保持不變；
• (4). 若所有節點的社區均保持穩定，則進入下一步；否則，轉至(2)；
• (5). 將網絡中的每個社區看作是新節點，社區內節點間權重轉換為新節點的環權重，社區間權重轉換為新節點間邊的權重，從而形成新的網絡；
• (6). 轉至(1)，直至模塊度不再變化；

為了更加簡潔的表示$\Delta Q$，這里對模塊度$Q$進行一些符號上的簡化
$$Q=\frac{1}{2m}[{\Sigma }_{in}?\frac{1}{2m}{\Sigma }_{tot}^2]$$
其中，${\Sigma }_{in}={\sum }_{i,j}{A}_{i,j}\delta (c_i,c_j)$，表示社區內部邊權重之和；${\Sigma }_{tot}^2={\sum }_{i,j}{k}_i{k}_j\sigma (c_i,c_j)$表示連接至社區$C$的所有權重之和。

那么移動節點$i$至社區$C$帶來的模塊度變化$\Delta Q$就可以表示為
$$\Delta Q=[\frac{{\sum }_{in}+2k_{i,in}}{2m}?(\frac{{\sum }_{tot}+k_i}{2m}{)}^2]?[\frac{{\sum }_{in}}{2m}?(\frac{{\sum }_{tot}}{2m}{)}^2?(\frac{k_i}{2m}{)}^2]$$
其中，$k_{i,in}$表示從節點$i$連接至$C$中節點的權重和。$\Delta Q$的第一項表示將節點$i$移入社區$C$后的模塊度，第二項則表示將節點$i$作為獨立社區的模塊度。第二項是下面等式的化簡結果
$$[\frac{{\sum }_{in}}{2m}?(\frac{{\sum }_{tot}}{2m}{)}^2]+[0?(\frac{k_i}{2m}{)}^2]=\frac{{\sum }_{in}}{2m}?(\frac{{\sum }_{tot}}{2m}{)}^2?(\frac{k_i}{2m}{)}^2$$

3. 優點

• 速度快
• 能發現社區的層次結構

總結

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