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1995年，Srinivas和Deb提出了非支配遺傳（Non-dominated Sorting Genetic Algorithms，NSGA）算法[42]。NSGA算法是以遺傳算法為基礎(chǔ)并基于Pareto最優(yōu)概念得到的。NSGA算法與基本遺傳算法的主要區(qū)別是其在進(jìn)行選擇操作之前對(duì)個(gè)體進(jìn)行了快速非支配排序，增大了優(yōu)秀個(gè)體被保留的概率[43]，而選擇、交叉、變異等操作與基本遺傳算法無(wú)異。經(jīng)過(guò)諸多學(xué)者的研究測(cè)試，NSGA算法比傳統(tǒng)的多目標(biāo)遺傳算法效果更好。但是在實(shí)際應(yīng)用中發(fā)現(xiàn)NSGA算法仍具有一定的缺點(diǎn)，主要體現(xiàn)在以下方面：

（1）算法計(jì)算量大。NSGA算法的計(jì)算復(fù)雜度與種群數(shù)量N、目標(biāo)函數(shù)個(gè)數(shù)m的關(guān)系為T = O(mN3)，當(dāng)種群規(guī)模較大、目標(biāo)函數(shù)較多時(shí)所耗時(shí)間較長(zhǎng)。

（2）沒(méi)有應(yīng)用精英策略。未通過(guò)精英策略提高優(yōu)秀個(gè)體的保留概率，因而無(wú)法加快程序的執(zhí)行速度。

（3）需要人為地指定共享半徑σshare，對(duì)于經(jīng)驗(yàn)的要求非常高。

為了改善NSGA算法的缺點(diǎn)，Deb等人在2002年提出了NSGA-II算法[44]。相對(duì)于NSGA算法，NSGA-II算法主要在以下三個(gè)方面做了改進(jìn)：

（1）NSGA-II算法使用了快速非支配排序法，將算法的計(jì)算復(fù)雜度由O(mN3)降到了O(mN2)，使得算法的計(jì)算時(shí)間大大減少。

（2）采用了精英策略，將父代個(gè)體與子代個(gè)體合并后進(jìn)行非支配排序，使得搜索空間變大，生成下一代父代種群時(shí)按順序?qū)?yōu)先級(jí)較高的個(gè)體選入，并在同級(jí)個(gè)體中采用擁擠度進(jìn)行選擇，保證了優(yōu)秀個(gè)體能夠有更大的概率被保留。

（3）用擁擠度的方法代替了需指定共享半徑的適應(yīng)度共享策略，并作為在同級(jí)個(gè)體中選擇優(yōu)秀個(gè)體的標(biāo)準(zhǔn)，保證了種群中個(gè)體的多樣性，有利于個(gè)體能夠在整個(gè)區(qū)間內(nèi)進(jìn)行選擇、交叉和變異。

實(shí)踐證明，NSGA-II算法無(wú)論在優(yōu)化效果還是運(yùn)算時(shí)間等方面都比NSGA算法有了一定的改進(jìn)，是一種優(yōu)秀的多目標(biāo)優(yōu)化算法。

1、?選擇、交叉、變異

遺傳算法中個(gè)體的編碼方式主要有實(shí)數(shù)編碼、二進(jìn)制編碼、格雷編碼等，根據(jù)系統(tǒng)容量一般較大的特點(diǎn)，本文選擇實(shí)數(shù)編碼方式。在優(yōu)化過(guò)程中，個(gè)體的好壞依賴于個(gè)體的適應(yīng)度，適應(yīng)度高的個(gè)體有更大的可能被保留進(jìn)入下一代。在實(shí)際操作當(dāng)中，適應(yīng)度一般為個(gè)體的目標(biāo)函數(shù)。

（1）選擇

選擇操作模仿自然界中的“優(yōu)勝劣汰”法則，若個(gè)體的適應(yīng)度高則其有更大概率被遺傳到下一代，反之則概率較小。進(jìn)行選擇操作的方法有許多，比如輪盤(pán)賭選擇、排序選擇、最優(yōu)個(gè)體保存、隨機(jī)聯(lián)賽選擇等。

a. 輪盤(pán)賭選擇：將種群中所有個(gè)體的適應(yīng)度值加和，并把每個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度值與和的比值作為該個(gè)體選擇的選擇概率，從而個(gè)體適應(yīng)度越高被選中概率越高。

b. 排序選擇：按照適應(yīng)度值大小對(duì)所有個(gè)體進(jìn)行排序，并根據(jù)排序確定個(gè)體被選中的概率。

c. 最優(yōu)個(gè)體保存：會(huì)將父代群體中的最優(yōu)的個(gè)體直接保存入子代個(gè)體中，保證了優(yōu)秀個(gè)體能夠遺傳到下一代。

d. 隨機(jī)聯(lián)賽選擇：設(shè)置固定值k，每次隨機(jī)取k個(gè)個(gè)體，將其中適應(yīng)度最高的個(gè)體遺傳入下一代。

這些選擇方法各有優(yōu)缺點(diǎn)，應(yīng)根據(jù)不同場(chǎng)景、不同要求進(jìn)行選擇，本研究采用隨機(jī)聯(lián)賽選擇方法。

?（2）交叉

交叉操作模擬自然界中染色體的交叉換位現(xiàn)象，用于生成新個(gè)體，決定了算法的全局搜索能力。標(biāo)準(zhǔn)的NSGA-II算法使用模擬二進(jìn)制交叉算子，第k+1代個(gè)體的計(jì)算公式如下[44, 45]：

??? ?????????????????? ?????????????

式中，p1,k+1和p2,k+1是交叉后生成的第k+1代個(gè)體；p1,k和p2,k是被選中的第k代個(gè)體；βqi是均勻分布因子,其計(jì)算方式如下：

式中，ui是屬于[0,1)的隨機(jī)數(shù)；η是交叉分布指數(shù)，一般的定義為20~30，η的大小會(huì)影響產(chǎn)生的個(gè)體距離父代個(gè)體的遠(yuǎn)近。

（3）變異

變異操作是模擬生物的基因變異，同交叉操作一樣，都用于產(chǎn)生新個(gè)體。標(biāo)準(zhǔn)NSGA-II算法的變異算子為多項(xiàng)式變異算子，第k+1代個(gè)體的計(jì)算公式如下[44,45]:

?

式中，pk是被選中的第k代個(gè)體；pk+1是pk經(jīng)變異操作得到的第k+1代個(gè)體；pmax k和pmin k分別為決策變量的上界和下界；δk計(jì)算公式如下：

?

式中，rk為[0,1]中的均勻分布隨機(jī)數(shù)；ηm為變異分布指數(shù)。

2、快速非支配排序

快速非支配排序是在Pareto支配基礎(chǔ)上提出的概念。假設(shè)有k個(gè)目標(biāo)函數(shù)記為fi (x)，其中i是1, 2, … , k中的任意整數(shù)，j同樣是1,2, …, k中的任意整數(shù)，但i≠j。若個(gè)體x1和x2對(duì)于任意的目標(biāo)函數(shù)都有fi(x1) < fi(x2)則稱個(gè)體x1支配x2；若對(duì)于任意的目標(biāo)函數(shù)都有fi(x1) ≤ fi(x2)且至少有一個(gè)目標(biāo)函數(shù)使得fj(x1) < fj(x2)成立則稱x1弱支配x2；若既存在目標(biāo)函數(shù)使得fi(x1) ≤ fi(x2)成立又存在目標(biāo)函數(shù)滿足fj(x1) > fj(x2)，則稱個(gè)體x1和x2互不支配。

種群中的每個(gè)個(gè)體都有兩個(gè)參數(shù)ni和Si，ni為種群中支配個(gè)體i 的個(gè)體數(shù)量，Si是被個(gè)體i支配的個(gè)體的集合,快速非支配排序的步驟如下：

（1）通過(guò)循環(huán)比較找到種群中所有ni = 0的個(gè)體，賦予其非支配等級(jí)為1，并將這些個(gè)體存入非支配集合rank1中。

（2）集合rank1中的每一個(gè)個(gè)體，將其所支配的個(gè)體集合中的每個(gè)個(gè)體的nj都減去1，若nj-1=0則將個(gè)體j存入集合rank2中，并賦予其中的個(gè)體非支配等級(jí)2。

（3）之后對(duì)rank2中的個(gè)體重復(fù)上述操作，直至所有個(gè)體都被賦予了非支配等級(jí)。

非支配等級(jí)也稱作Pareto等級(jí)，其中Pareto等級(jí)為1的個(gè)體由于不受其他個(gè)體的支配，叫做非支配解，也叫 Pareto最優(yōu)解，而解集所形成的曲線叫做Pareto前沿。以有兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)f1和f2為例，假設(shè)經(jīng)過(guò)快速非支配排序之后共分成了三個(gè)Pareto等級(jí)，如圖4.1所示。圖4.1中用圓圈表示的個(gè)體即Pareto等級(jí)為1的個(gè)體組成的集合為本例的Pareto最優(yōu)解，這些個(gè)體形成的曲線即為本例的Pareto前沿。

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3、擁擠度計(jì)算

在NSGA算法中，需要指定共享半徑σshare，這對(duì)經(jīng)驗(yàn)要求較高，為了克服這一缺點(diǎn)，NSGA-II引用了擁擠度的概念。擁擠度表示空間中個(gè)體的密度值，直觀上可以用個(gè)體? 周圍不包括其他個(gè)體的長(zhǎng)方形表示，如圖所示。

?

在對(duì)某個(gè)等級(jí)的個(gè)體進(jìn)行擁擠度計(jì)算時(shí)，設(shè)該等級(jí)共有m個(gè)個(gè)體，每個(gè)個(gè)體用xi表示，i為1~m中的任意整數(shù)，xi-1，xi+1分別為i=2, 3, …, m-1時(shí)個(gè)體? 前后的個(gè)體；記第? 個(gè)個(gè)體的擁擠度為yi，初始值設(shè)為0；設(shè)有n個(gè)目標(biāo)函數(shù)，記為fk(x)，k=1, 2, …, n，記fmin k、fmax k分別為m個(gè)個(gè)體中目標(biāo)函數(shù)值fk(xi)的最小值和最大值，擁擠度計(jì)算的偽代碼流程如下所示：

for k<=n

{

?? ?// 根據(jù)目標(biāo)函數(shù)值fk(xi)對(duì)該等級(jí)的全部個(gè)體進(jìn)行排序

??? y1=∞

??? ym=∞

?? ?i=2

for i<m

{

i=i+1

}

k=k+1

}

4、精英策略

NSGA-II算法引入了精英策略，達(dá)到保留優(yōu)秀個(gè)體淘汰劣等個(gè)體的目的。精英策略通過(guò)將父代與子代個(gè)體混合形成新的群體，擴(kuò)大了產(chǎn)生下一代個(gè)體時(shí)的篩選范圍。以圖所示的例子進(jìn)行分析，圖中P表示父代種群，設(shè)其中的個(gè)體數(shù)量為n，Q表示子代種群，具體步驟如下：

（1）將父代種群和子代種群合并形成新的種群。之后對(duì)新種群進(jìn)行非支配排序，本例中將種群分成了6個(gè)Pareto等級(jí)。

（2）進(jìn)行新的父代的生成工作，先將Pareto等級(jí)為1的非支配個(gè)體放入新的父代集合當(dāng)中，之后將Pareto等級(jí)為2的個(gè)體放入新的父代種群中，以此類推。

（3）若等級(jí)為k的個(gè)體全部放入新的父代集合中后，集合中個(gè)體的數(shù)量小于n，而等級(jí)為k+1的個(gè)體全部放入新的父代集合中后，集合中的個(gè)體數(shù)量大于n，則對(duì)第k+1等級(jí)的全部個(gè)體計(jì)算擁擠度并將所有個(gè)體按擁擠度進(jìn)行降序排列,之后將等級(jí)大于k+1的個(gè)體全部淘汰。本例中可以看出k為2，所以對(duì)Pareto等級(jí)為3的個(gè)體計(jì)算擁擠度并按其進(jìn)行降序排序，等級(jí)為4~6的個(gè)體全部淘汰。

（4） 將等級(jí)k+1中的個(gè)體按步驟2中排好的順序逐個(gè)放入新的父代集合中，直到父代集合中的個(gè)體數(shù)量等于n，剩余的個(gè)體被淘汰。

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5、算法的實(shí)現(xiàn)步驟

NSGA-II算法的流程圖如圖4.4所示，具體實(shí)現(xiàn)過(guò)程如下：

第一步：初始種群并設(shè)置進(jìn)化代數(shù)Gen=1。

第二步：判斷是否生成了第一代子種群，若已生成則令進(jìn)化代數(shù)Gen=2，否則，對(duì)初始種群進(jìn)行非支配排序和選擇、高斯交叉、變異從而生成第一代子種群并使進(jìn)化代數(shù)Gen=2。

第三步：將父代種群與子代種群合并為新種群。

第四步：判斷是否已生成新的父代種群，若沒(méi)有則計(jì)算新種群中個(gè)體的目標(biāo)函數(shù)，并執(zhí)行快速非支配排序、計(jì)算擁擠度、精英策略等操作生成新的父代種群；否則，進(jìn)入第五步。

第五步：對(duì)生成的父代種群執(zhí)行選擇、交叉、變異操作生成子代種群。

第六步：判斷Gen是否等于最大的進(jìn)化代數(shù)，若沒(méi)有則進(jìn)化代數(shù)Gen=Gen+1并返回第三步；否則，算法運(yùn)行結(jié)束。

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的NSGA-II算法介绍的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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