一、首先，什么是區間操作？以及各種數據結構性能對比

區間操作就是對一個序列的某個區間的所有元素進行的操作。比如，對區間所有元素增加一個值，翻轉區間元素等。
對區間操作，最普通的方法就是數組。比如：對一個長為N 的序列的 [L,R]區間執行每個元素加上k 的操作，可以使用數組來保存序列，然后使用循環對[L,R]區間每個元素加k 。
代碼是這樣的：

//int A[],L,R,k;for i = L to RA[i] += k;

這樣做的效率是 O(N)，對于一個排序來說這是很好的性能，但對于一個操作來說，這并不是理想，很多二叉樹的操作都能達到O( log N) 級別。
對于最典型的查找操作，普通二叉樹的操作能達到O( log N) ，但是樹在最壞情況下性能會退化到O(N)（比如順邊的情況下） 。
平衡樹能對樹高度進行控制，最壞性能控制在O(log N)，但是，平衡樹只是控制了樹的高度，而不能保證訪問頻率高的節點離跟越近，因此，平衡樹的訪問效率與節點的分布有關，如果訪問頻率高的節點離根很遠，那么平衡樹的性能就會有所降低。
因此，便有了伸展樹。伸展樹的特點就是：每次查找或插入節點，都會把該節點旋轉到樹根位置，隨著操作次數增加，高頻節點就會聚集在根周圍，從而達到較好的性能。

二、伸展樹介紹

伸展樹的特點就是：每次查找或插入節點，都會把該節點旋轉到樹根位置，隨著操作次數增加，高頻節點就會聚集在根周圍，從而達到較好的性能。

伸展樹首先是一棵樹，可以定義如下：

typedef struct Node {int key; struct Node *lch,*rch,*parent; }* Node ,* Tree;

伸展樹的高層操作有：

高層操作實現

insert( t , x )	將x插入t中。找到x在t中的位置，插入x，然后再將x旋轉到樹根
delete( t ,x )	刪除x。找到x,將x調到根部，將x的左子樹和右子樹刪除后合并。
spilt( t , x)	以x為界分離t。找到x,將x旋轉到樹根，然后將x的左子樹和剩余部分分離
find( t , x )	找到x。找到x，然后將x旋轉到樹根。
join( t1 , t2 )	合并子樹 t1和t2，要求t1所有元素小于t2的任一元素。找到t1的最大元素，并調整到根部，將t2作為根的右子樹插入

可見，樹的高層操作都依賴與旋轉等基本操作：

基本操作實現

splay( t ,x )	將x調至根部。循環調用zig_zag_manager( t , x) 方法，直到x == t
zig_zag_manager( t , x)	旋轉管理者。 找到x，分析x與父親節點，父親節點與祖父節點的關系，選擇恰當的旋轉方式。
	下面幾個函數中，設x 的父節點為 p, p的父節點為g 。
zig( t , x )	右旋。當p是根節點，x是p的左孩子，將x右旋
zag( t , x )	左旋。當p是根節點，x是p的右孩子，將x左旋
zig_zig( t , x )	右雙旋。x是p的左節點，當p是g的左節點，先將p右旋，再將x右旋
zag_zag( t , x )	左雙旋。x是p的右節點，當p是g的右節點，先將p左旋，再將x左旋
zig_zag( t , x )	右旋再左旋。x是p的左節點，當p是g的右節點，先將x右旋，再將x左旋
zag_zig( t , x )	左旋再右旋。x是p的右節點，當p是g的左節點，先將x左旋，再將x右旋

其實上述左旋和右旋很有規律，當一個節點是左節點時，應當右旋，當一個節點是右節點時，應當左旋。

伸展樹的區間操作

伸展樹操作區間的思路是：

第一步，分離區間。分離長度為N的序列里的區間 [L ,R ]，首先找到第L大的元素，然后以其為界進行分離操作，得到t1 = [0,L-1] 和 temp = [L ,N]。
然后，再找到 temp 中第 R-L+1 大元素，并以該元素為界進行分離操作， 得到 t2 = [L ,R] 和 t3 = [R+1, N]。這樣，就成功分離出了目標區間t2 。

第二步，對目標區間進行操作。

第三步，合并區間。合并t1,t2,t3。

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總結

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