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离散数学图论旅行规划问题_《图论及其应用》（一）

發(fā)布時間：2023/12/10 编程问答 33 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了离散数学图论旅行规划问题_《图论及其应用》（一）小編覺得挺不錯的,現(xiàn)在分享給大家,幫大家做個參考.

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一. 定義

1.1 圖的基本概念

圖或有序?qū)蛐蚺?#xff08;P1）、有限圖/平凡圖/非平凡圖/空圖（P1）、頂點數(shù)或階數(shù)/邊數(shù)/重數(shù)/重邊/環(huán)（P1）、簡單圖/復(fù)合圖（P1）、相鄰（P2）、相關(guān)聯(lián)（P2）、同構(gòu)

（P2, PPT1-26-29的例2-例5, PPT1-30的同構(gòu)實際意義）、非標定(號)圖/ 標定(號)圖（P2）、完全圖（P2）、偶圖（P2）、完全偶圖（P2）、補圖 /自補圖（P3）、度（P3）、最小度（P3）、最大度（P3）、奇點/偶點（P3）、正則圖（P3）、度序列（P4）、圖劃分（P4）、可圖（P4）、頻序列（P5）、子圖（P5）、真子圖（P6）、生成子圖（P6,PPT3-8的例2）、導(dǎo)出子圖（P6，PPT3-6的例1）、邊導(dǎo)出子圖（P6,PPT3-7的例2）、不相交的（P6）、邊不重的（P6）、并圖（P6）、交圖（P6）、差（P6）、對稱差（P6）、聯(lián)圖（P7）、積圖（P8）、合成圖、方體（P9, PPT3-29的遞歸構(gòu)造方法）、途徑/ 跡/ 路（P10）、回路/閉跡/圈/奇圈/偶圈（P10）、連通圖（P10）、連通分支或分支（P10）、分支數(shù)（P10）、距離/直徑（P10）、賦權(quán)圖（P11）、最短路（P11）、鄰接矩陣（P15）、關(guān)聯(lián)矩陣（P16，P16例1）、鄰接代數(shù)（P17）、部圖（P20）、完全部圖（P20）、完全幾乎等部圖（P21）、完全等部圖（P21）、度序列優(yōu)于/度序列弱于（P22）注意：
1. 圖的四種二元運算（）后得到的新圖的點數(shù)和邊數(shù)（P9，注意：積圖是合成圖的子圖）（PPT13-8例2）。
2. 偶圖不能有環(huán)，偶圖可以有重邊。
3. 無限圖也是大量存在的，比如正整數(shù)集合上的“整除關(guān)系”圖就是一個無限圖。
4. 對于“補圖”的概念要注意：只有簡單圖才能定義補圖。對于“自補圖”，并不是任意一個簡單圖都是自補圖。
5. 一個圖的度序列與序列中的元素排列無關(guān)，給定一個圖，只對應(yīng)唯一一個度序列，同構(gòu)的圖具有相同的度序列。
6. 圖的積運算是網(wǎng)絡(luò)構(gòu)造的常用方法。并行計算機中的網(wǎng)絡(luò)拓撲常采用所謂的“超立方體”結(jié)構(gòu)。采用該結(jié)構(gòu)可使網(wǎng)絡(luò)具有較好的可靠性、較小的通信延遲和很好的可擴展性以及便于并行編程等優(yōu)點。

1.2 樹

樹（P31，PPT6-5的例1, 一個點也是樹）、森林（P31）、樹葉（P31）、分支點（P31）、平凡樹（P31）、最小連通圖（P33）、離心率（P34）、半徑（P34）、直徑（P34）、中心點（P34）、中心（P34, 比如社區(qū)醫(yī)院的修建位置上就可以建在圖的中心）、分支（P34）、權(quán)（P34）、形心點（P34）、形心（P34）、生成樹（P35）、生成森林（P35）、樹枝（P35）、弦（P35）、基本回路（P38）、基本回路系統(tǒng)（P38）、最小生成樹（P40）

根樹（P217）、樹根（P217）、樹葉（P217）、內(nèi)點（P217）、分支點（P217）、層數(shù)（P217）、高（P217）、祖先（P218）、父親（P218）、兒子（P218）、兄弟（P218）、有序樹（P218）、外向樹（P218）、內(nèi)向樹（P218）、m元樹（P218）、m元完全樹（P218）、最優(yōu)二元樹（P221，P221例5）、前綴（P224，P224例7和例8）

注意：
1. 要會聯(lián)系概念，并對概念有一定深度的理解。比如“樹不一定是偶圖”，因為樹里面還有平凡樹，平凡樹不是偶圖。但如果說“非平凡樹一定是偶圖”就是正確的。
2. 樹是圖論中應(yīng)用最為廣泛的一類圖。在理論上，由于樹的簡單結(jié)構(gòu)，常常是圖論理論研究的“試驗田”。在實際問題中，許多實際問題的圖論模型就是樹。

1.3 圖的連通度

割邊（P46）、割點（P46）、塊（P47，及P47的例2, PPT9-14的例5）、塊割點樹（PPT9-19, 其為了直觀反映圖的塊和割點之間的聯(lián)系, PPT9-19的例6）、頂點割或點割（P50）、最小點割（P50，P50例1）、連通度

（P50，P50例2）、連通的（P50）、邊割（P50）、最小邊割（P51）、邊連通度（P51，P51例3）、邊連通的（P51）、哈拉里圖（PPT10-13, 涉及可靠性通信網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建）、點獨立路（P53）、點分離集合（P54）注意：
1. 圖的連通程度的高低，是圖結(jié)構(gòu)性質(zhì)的重要表征，圖的許多性質(zhì)都與其相關(guān)，例如：連通圖中任意兩點間不相交路的條數(shù)就與圖的連通程度有關(guān)。
2. 對于割點的定義：當且僅當，其前提是無環(huán)且非平凡。
拓展：
1. 描述連通性的其它參數(shù)，包括圖的堅韌度、圖的核度等，參見PP10-20起。
2. 圖的寬直徑相關(guān)概念，參見PPT11-12起。用來度量網(wǎng)絡(luò)的傳輸延遲。

1.4 Euler圖與Hamilton圖

Euler閉跡 / Euler圖（P70，歐拉閉跡又稱為歐拉環(huán)游或歐拉回路, 歐拉圖簡稱為E圖）、Euler跡 / 半Euler圖（P69/ P70）、最優(yōu)環(huán)游（P76）、Hamilton路 / Hamilton圖（P78，哈密爾頓路簡稱H路，哈密爾頓圖也簡稱H圖）、Hamilton圈（P78）、閉圖（P80）、閉包（P81和構(gòu)造算法）、度極大非Hamilton圖族（P84,定義為

, 實際上用, P85例1）、旅行售貨員問題TSP（P87）、最優(yōu) 圈（P87）、超圖 / 超可跡的（P89/ P90）、Peterson圖 / Thomassen圖（P90）、線圖（P94, 對于線圖是對于n次迭代后而言的）、細分圖（P95, 細分圖也是對于幾次細分而言的）注意：
1. 對于閉圖的概念，要注意邏輯，如果沒有的點，則也是閉圖。
2. 注意度極大非H圖族中有個范圍的哦！這樣就不用畫那么多啦！
3. 如何理解“從表面上看， E圖與H圖間沒有聯(lián)系“？因為我們可以不費力地找到: (1) E圖但非H圖； (2) E圖且H圖； (3) H圖但非E圖; (4) 非E圖且非H圖（這里就要注意邏輯了！就像量子力學(xué)波函數(shù)的奇怪之處，當時也是窮舉了所有的邏輯也找不出）。為了聯(lián)系它們，于是引入了“線圖”，目的是為了從線圖的角度考慮E圖與H圖。線圖有如下性質(zhì)：（1）若是的邊，則作為的頂點度數(shù)為；（2）若，則線圖邊數(shù)為 ; (3) 一個圖同構(gòu)于它的線圖，當且僅當它是圈；(4) 若圖和有同構(gòu)的線圖，則除了一個是而另一個是外，和同構(gòu)。關(guān)于它們的證明參見PPT16-25起。
4. 對于圖的線圖和細分圖，有。

1.5 匹配與因子分解

匹配（P100, 又稱為對集或邊獨立集, 注意不含環(huán)哦！）、M飽和點/M非飽和點（P100）、完美匹配（P100，PPT17-21例2(2)）、最大匹配（P100）、M交錯路（P100）、M可擴充路（P100, PPT17-9, 要會找）、S的鄰集或鄰域

（P101）、(點) 覆蓋（P102）、最小(點) 覆蓋（P102, 其中包含的點數(shù)稱為覆蓋數(shù)，記為）、奇分支（P104）、偶分支（P104）、因子分解（P106）、n-因子（P106, PPT18-10例子）、n-因子分解（P106）、n-可因子化的（P106）、森林因子分解（PPT18-20及例子)、蔭度（P109, 記為）、M非飽和點（P111）、M可擴路（P111）、M交錯樹（P111）、最優(yōu)匹配（P113）、可行頂點標號（P114）、相等子圖（P114）注意：
1. 對于匹配問題，不要一開始就默認把它按照偶圖來想象。注意：(1) 一個圖不一定有完美匹配，若有，則每個完美匹配都是最大匹配（注意完美匹配和最大匹配的關(guān)系）;(2)一個圖的最大匹配和完美匹配(若存在)偶不一定唯一。
2. 對于M飽和點/M非飽和點，要等劃分好匹配后才能確定，而且劃分的方法可以不止一種，因此同一個點也可以有多種情況。
3. M可擴路在匹配擴大過程中起到很大的作用，給予它可以擴充匹配。
4. 若有一個1-因子（其邊集為完美匹配），則顯然是偶階圖。特別地，不能有1-因子，但有一因子。這樣將完美匹配和1-因子分解聯(lián)系了起來（P117-3）。
5. 圖的一個一因子實際上就是圖的一個完美匹配的導(dǎo)出子圖。一個圖能夠作一因子分解，也就是它能夠分解為若干邊不重的完美匹配的導(dǎo)出子圖之并。

1.6 平面圖

可嵌入平面（或可平面圖）/ 一種平面嵌入 / 平面圖（P119）、面/ 外部面（或無限面）（P120, 面組成的集合用

表示）、面的邊界 / 次數(shù) （P120，P121例2，割邊計算兩次）、極大可平面圖/極大平面圖（P127, 注意定義中包含倆情況奧！且僅對于簡單圖而言的！）、極小不可平面圖（P129）、外可平面圖 / 外平面圖（（P129及例子,能圍住即可/ P129）、極大外可平面 / 極大外平面圖（P129/ P129及例圖）、對偶圖（P132及例3構(gòu)造過程及表6-2的對應(yīng)關(guān)系）、基本非平面圖（Kuratowaki圖）（P134）、在2度頂點內(nèi)擴充或收縮（P134及例子）、同胚的（P134）、基礎(chǔ)簡單圖（P135）、初等收縮（P136及例子，）、關(guān)系（P139，具有自反性、對稱性和傳遞性）、橋（P139及例1）、附著頂點（P139）、容許的（P139及例2）、可畫入（P140）注意：
1. PPT20-4至8舉例說明了研究本章內(nèi)容在實際生活中的應(yīng)用價值。
2. 平面圖及其偶圖的一些性質(zhì)：(1) 的點數(shù)= 的面數(shù)；(2) 的邊數(shù)= 的邊數(shù)；(3) 的面數(shù)= 的點數(shù)；(4) 。
3. 對外可平面圖G來說，一定存在一種外平面嵌入，使得G的頂點均在外部面的邊界上。這由球極投影法可以說明。且要知道：設(shè)G是一個連通簡單外可平面圖，則在G中存在度數(shù)至多是2的頂點。
補充：
1. 涉及平面性的不變量，即如何刻畫一個非可平面圖與平面圖之間的差距，參見PPT22-21起。

1.7 圖的著色

k邊著色/ 色集/ 邊著色是正常的（P147）、邊色數(shù)

（P147）、邊可著色的（P147）、劃分/ 分劃（P148, 分別滿足3個條件和其中的2個條件）、色組（P148, 有可能）、著色是正常的/ 色數(shù) / 可著色的（P152）、色組（P153）、色劃分（P153）、色圖（P153）、次大度（PPT25-15, PPT25-16的例子）、色多項式（P166以及5個性質(zhì)）、理想子圖（P169及例2, ）、伴隨多項式（P170）注意：
1. PPT24-4和PPT25-3分別舉例說明了本章內(nèi)容在現(xiàn)實中的應(yīng)用價值。對圖的正常邊著色，實際上是對G的邊集合的一種劃分，使得每個劃分塊是G的一個邊獨立集(無環(huán)時是匹配);圖的邊色數(shù)對應(yīng)的是圖的最小獨立集劃分數(shù)。因此，圖的邊著色，本質(zhì)上是對應(yīng)實際問題中的“劃分”問題或“分類”問題。
2. 色多項式是對于點著色而言的，且表示“最多”用k種顏色。用色多項式計算時的核心套路就是遞推，其遞推公式為，其遞推之母為和。

1.8 Ramsey定理

點獨立集/最大獨立集/獨立數(shù)

（P191）、點覆蓋/最小點覆蓋/最小點覆蓋數(shù) （P191）、邊覆蓋/最小邊覆蓋/邊覆蓋數(shù) （P192）、邊獨立數(shù) （P192）、臨界點（P193）、臨界邊（P193）、點臨界的（P194）、邊臨界的（P194）、Ramsey數(shù)（P197, PPT28-18的例2, PPT28-21的例4）注意：
1. ，，，要會求，參見PPT28-10的例1。
2. 有臨界邊的圖必有臨界點，但有臨界點的圖不一定有臨界邊。
補充：
1. 拉姆齊數(shù)的計算很難，所以研究拉姆齊數(shù)的上下界是該問題的主題。綜述的一些結(jié)果參見PPT28-20起。

1.9 有向圖

有向圖 (PPT29-3, 用三元組定義)、始點/終點（P209）、重數(shù)（PPT29-4）、基礎(chǔ)圖（P209）、定向圖（P209, PPT29-7的例1）、出度

/入度（P210）、有向圖的鄰接矩陣和關(guān)聯(lián)矩陣（P210）、重邊/重數(shù)/單邊（P211）、簡單有向圖（P211）、可達（P212）、強連通的/單向連通的/弱連通的（連通）（P212）、強（單向、弱）連通分支（P213, PPT29-15的例3）、

二. 定理

2.1 圖的基本概念

1. 若

階圖是自補的（即），則。（P3證明，必要條件，但不是充分條件, PPT2-13的例2）

2. 圖

中所有頂點的度的和等于邊數(shù) 的2倍，即。（P4證明, PPT2-19的例3）推論1：在任何圖中，奇點個數(shù)為偶數(shù)。（P4證明）
推論2：正則圖的階數(shù)和度數(shù)不同時為奇數(shù)。（P4證明）

3. 設(shè)有非負整數(shù)組

，且是一個偶數(shù)，，它是可圖的充要條件為是可圖的。（P5例子，P30-11）圖序列判斷充要條件：非負整數(shù)組，，是圖序列的充分必要條件是。（該定理只能做判斷，定理證明比較困難。

4. 一個簡單圖

的個點的度不能互不相同。（P5證明）

5. 一個

階圖和它的補圖有相同的頻序列。（P5證明）

6. 簡單圖

中所有不同的生成子圖（包括和空圖）的個數(shù)是個。（P6證明）

7. 若圖

是不連通的，則是連通圖。（P10證明）

8. (偶圖的判定定理) 一個圖是偶圖當且僅當它不包含奇圈。（P10-11證明）

9. 代數(shù)圖論的相關(guān)定理：

(1）

連通的充分必要條件是：不能與如下矩陣相似：。(PPT4-6的證明）

(2) 令

是一個有推廣的鄰接矩陣的階標定圖，則的行列元素等于由到的長度為的通道的數(shù)目。（P16證明）推論：設(shè) 為簡單圖的鄰接矩陣，則 (a) 的元素是的度數(shù)，的元素是含的三角形的數(shù)目的兩倍；(b) 若是連通的，對于，與之間的距離是使的的最小整數(shù) 。

(3)

階連通圖的鄰接代數(shù)的維數(shù)有。（P17證明）