前言

上面我們介紹了線性回歸, 嶺回歸, Lasso回歸, 今天我們來看看另外一種模型—"邏輯回歸". 雖然它有"回歸"一詞, 但解決的卻是分類問題

目錄

1. 邏輯回歸

2. 優缺點及優化問題

3. 實際案例應用

4. 總結

正文

在前面所介紹的線性回歸, 嶺回歸和Lasso回歸這三種回歸模型中, 其輸出變量均為連續型, 比如常見的線性回歸模型為:

其寫成矩陣形式為:

現在這里的輸出為連續型變量, 但是實際中會有"輸出為離散型變量"這樣的需求, 比如給定特征預測是否離職(1表示離職, 0表示不離職). 顯然這時不能直接使用線性回歸模型, 而邏輯回歸就派上用場了.

1. 邏輯回歸

引用百度百科定義

邏輯(logistic)回歸, 又稱logistic回歸分析，是一種廣義的線性回歸分析模型，常用于數據挖掘，疾病自動診斷，經濟預測等領域。

也就是說邏輯回歸是從線性回歸模型推廣而來的, 我們從假設函數開始說起.

1. 假設函數

現假設因變量取值0和1, 在自變量X的條件下因變量y=1的概率為p, 記作p=P(y=1|X), 那么y=0的概率就為1-p,把因變量取1和取0的概率比值p/(1-p)稱為優勢比, 對優勢比取自然對數, 則可以得到Sigmoid函數:

令Sigmoid(p)=z, 則有:

而Logistic回歸模型則是建立在Sigmoid函數和自變量的線性回歸模型之上(這可能就是為什么帶有"回歸"二字的原因吧), 那么Logistic回歸模型可以表示為:

上式也常常被稱為邏輯回歸模型的假設函數, 其函數圖像為:

通過圖像可以看出

的取值范圍為

, h(x)的取值范圍為[0, 1], 對于二分類問題來說, h(x)>=0.5則y=1, h(x)<0.5則y=0, 而且通過圖像得知: 當

時, h(x)>=0.5, 因此

時y=1, 否則y=0.

模型的假設函數知道了, 接下來看看損失函數.

2. 損失函數

既然邏輯回歸是建立在線性回歸模型之上, 那么我們先來回顧線性回歸的損失函數:

如果將我們邏輯回歸的假設函數代入上式損失函數, 繪制出來的圖像則是非凸函數, 其很容易產生局部最優解, 而非全局最優解, 為了找到使得全局最優解, 我們需要構造一個凸函數.

由于對數函數能夠簡化計算過程, 因此這里也是通過對數函數來構建, 先來回歸下對數函數的圖像(原圖來自百度百科):

通過上圖可以發現綠線部分與我們要構造的凸函數較接近. 當a=e時, 綠線部分可以分別表示為: -loge(x)和-loge(1-x). 現將x替換為h(x)并同時加入輸出變量y (取值為1或0), 則有:

當上式中的y=1時, 其結果為-logeh(x); 當y=0時, 其結果-loge[1-h(x)].

最后, 將上式代入我們的損失函數中, 則有:

當然, 也可以用統計學中的極大似然法構造出上式損失函數. 損失函數有了, 下一步則是求解損失函數最小的算法了.

3. 算法

常用的求解算法有梯度下降法, 坐標軸下降法, 擬牛頓法. 下面只介紹梯度下降法(其他方法還未涉及)

你也許會有疑問, 既然是線性回歸模型推廣而來, 那么為什么沒有最小二乘法呢?最小二乘法是用來求解最小誤差平方和的算法, 而誤差的平方和正是我們上面提到的線性回歸的損失函數, 通過其構造出來的邏輯回歸的損失函數是非凸的不容易找到全局最優解, 故不選用最小二乘法, 而通過極大似然法則可以構造出凸函數, 進而可以使用梯度下降法進行求解.

對于梯度下降法的理解在這節, 這里直接給出其表示:

具體的求解過程:

因此, 我們的梯度下降法可以寫成(其中, x0=1):

上式也被稱為批量梯度下降法, 另外兩種: 隨機梯度下降法和小批量梯度下降法分別表示為:

2. 優缺點及優化問題

1. 優點

1) 模型簡單, 訓練速度快, 且對于輸出變量有很好的概率解釋

2) 可以適用連續型和離散型自變量.

3) 可以根據實際需求設定具體的閥值

2. 缺點

1) 只能處理二分類問題.

2) 適用較大樣本量, 這是由于極大似然估計在較小樣本量中表現較差.

3) 由于其是基于線性回歸模型之上, 因此其同樣會出現多重共線性問題.

4) 很難處理數據不均衡問題

3. 優化

1) 可以在二分類上進行推廣, 將其推廣到多分類回歸模型

2) 對于多重共線性問題, 也可以通過刪除自變量, 進行數據變換, 正則化, 逐步回歸, 主成分分析等方法改善, 對于正則化邏輯回歸同樣有兩種: L1和L2, 其分別表示為:

L1正則化

L2正則化

3. 實際案例應用

1. 數據來源及背景

數據來源: https://www.kaggle.com/jiangzuo/hr-comma-sep/version/1

該數據集包含14999個樣本以及10個特征, 通過現有員工是否離職的數據, 建立模型預測有可能離職的員工.

2. 數據概覽

1) 查看前2行和后2行數據

importpandas as pd

df= pd.read_csv(r'D:\Data\HR_comma_sep.csv')

pd.set_option('display.max_rows', 4)

df

10個字段分別是: 員工對公司滿意度, 最新考核評估, 項目數, 平均每月工作時長, 工作年限, 是否出現工作事故, 是否離職, 過去5年是否升職, 崗位, 薪資水平.

可以看到除過崗位以及薪資水平是字符型外, 其余均是數值型.

2) 查看數據類型等信息

df.info()

RangeIndex: 14999 entries, 0 to 14998

Data columns (total 10 columns):

satisfaction_level 14999 non-null float64

last_evaluation 14999 non-null float64

number_project 14999 non-null int64

average_montly_hours 14999 non-null int64

time_spend_company 14999 non-null int64

Work_accident 14999 non-null int64

left 14999 non-null int64

promotion_last_5years 14999 non-null int64

sales 14999 non-null object

salary 14999 non-null object

dtypes: float64(2), int64(6), object(2)

memory usage: 1.1+ MB

前兩個特征為浮點型, 后兩個為字符型, 其余為整型, 且均無缺失值.

3). 描述性統計

df.describe()

df.describe(include=['O']).T

滿意度: 范圍 0.09~1, 中位數0.640, 均值0.613.

最新考核評估: 范圍 0.36~1, 中位數0.720, 均值0.716

項目數: 范圍 2~7個, 中位數4, 均值3.8

平均每月工作時長 范圍96~310小時, 中位數200, 均值201

工作年限: 范圍2~10年, 中位數3, 均值3.5.

工作中出現工作事故的占14.46%.

已經離職的占23.81%.

過去5年升職的占2.13%.

員工崗位有10種, 其中最多的是銷售, 多達4140.

薪資水平共有3個等級, 最多的是低等, 多達7316.

3. 數據預處理

沒有缺失值, 因此不用處理缺失值. 對于記錄來說, 其沒有唯一標識的字段, 因此會存在重復記錄, 這里采取不處理.

1. 異常值

通過箱線圖查看異常值.

importseaborn as sns

fig, ax= plt.subplots(1,5, figsize=(12, 2))

sns.boxplot(x=df.columns[0], data=df, ax=ax[0])

sns.boxplot(x=df.columns[1], data=df, ax=ax[1])

sns.boxplot(x=df.columns[2], data=df, ax=ax[2])

sns.boxplot(x=df.columns[3], data=df, ax=ax[3])

sns.boxplot(x=df.columns[4], data=df, ax=ax[4])

除了工作年限外, 其他均無異常值. 該異常值也反映了該公司員工中以年輕人為主

4. 可視化分析

1. 人力資源總體情況

from pyecharts importPie

attr= ["離職", "在職"]

v1=[df.left.value_counts()[1], df.left.value_counts()[0]]

pie= Pie("該公司人力資源總體情況", title_pos='center')

pie.add("",

attr,

v1,

radius=[35, 65],

label_text_color=None,

is_label_show=True,

legend_orient="vertical",

legend_pos="left",

)

pie.render()

離職3571人,占比23.81%; 在職11428人, 占比76.19%

2. 對公司滿意度與是否離職的關系

from pyecharts importBoxplot#字段重命名

df.columns=['satisfaction', 'evaluation', 'project', 'hours', 'years_work','work_accident', 'left', 'promotion', 'department', 'salary']#繪制箱線圖

boxplot = Boxplot("對公司滿意度與是否離職關系圖", title_pos='center')

x_axis= ['在職', '離職']

y_axis= [df[df.left == 0].satisfaction.values, df[df.left == 1].satisfaction.values]

boxplot.add("", x_axis, boxplot.prepare_data(y_axis))

boxplot.render()

就中位數而言, 離職人員對公司滿意度相對較低, 且離職人員對公司滿意度整體波動較大. 另外離職人員中沒有滿意度為1的評價.

3. 最新考核評估與是否離職的關系

boxplot = Boxplot("最新評估與是否離職關系圖", title_pos='center')

x_axis= ['在職', '離職']

y_axis= [df[df.left == 0].evaluation.values, df[df.left == 1].evaluation.values]

boxplot.add("", x_axis, boxplot.prepare_data(y_axis))

boxplot.render()

就中位數而言, 離職人員的最新考核評估相對較高, 但其波動也大.

4. 所參加項目與是否離職的關系

from pyecharts importBar, Pie, Grid#按照項目數分組分別求離職人數和所有人數

project_left_1 = df[df.left == 1].groupby('project')['left'].count()

project_all= df.groupby('project')['left'].count()#分別計算離職人數和在職人數所占比例

project_left1_rate = project_left_1 /project_all

project_left0_rate= 1 -project_left1_rate

attr=project_left1_rate.index

bar= Bar("所參加項目數與是否離職的關系圖", title_pos='10%')

bar.add("離職", attr, project_left1_rate, is_stack=True)

bar.add("在職", attr, project_left0_rate, is_stack=True, legend_pos="left", legend_orient="vertical")#繪制圓環圖

pie = Pie("各項目數所占百分比", title_pos='center')

pie.add('', project_all.index, project_all, radius=[35, 60], label_text_color=None,

is_label_show=True, legend_orient="vertical", legend_pos="67%")

grid= Grid(width=1200)

grid.add(bar, grid_right="67%")

grid.add(pie)

grid.render()

通過下圖可以發現以下2點:

- 離職人員所占比例隨著項目數的增多而增大, 2個項目數是特例

- 離職人員比例較高的項目數2, 6, 7在總項目數中所占百分比相對較少.?項目數為2的這部分人可能是工作能力不被認可, 其離職人數也相對較高; 項目數為6, 7的這部分人則工作能力較強, 其可能在其他企業能有更好的發展, 自然離職比例也相對較高.

5. 平均每月工作時長和是否離職的關系

boxplot = Boxplot("平均每月工作時長與是否離職關系圖", title_pos='center')

x_axis= ['在職', '離職']

y_axis= [df[df.left == 0].hours.values, df[df.left == 1].hours.values]

boxplot.add("", x_axis, boxplot.prepare_data(y_axis))

boxplot.render()

通過下圖可以看到: 離職人員的平均每月工作時長相對較長, 每月按照22個工作日計算, 每日工作時數的中位數為10.18小時, 最大值為14.09小時.

6. 工作年限和是否離職的關系

from pyecharts importBar, Pie, Grid#按照工作年限分別求離職人數和所有人數

years_left_0 = df[df.left == 0].groupby('years_work')['left'].count()

years_all= df.groupby('years_work')['left'].count()#分別計算離職人數和在職人數所占比例

years_left0_rate = years_left_0 /years_all

years_left1_rate= 1 -years_left0_rate

attr=years_all.index

bar= Bar("工作年限與是否離職的關系圖", title_pos='10%')

bar.add("離職", attr, years_left1_rate, is_stack=True)

bar.add("在職", attr, years_left0_rate, is_stack=True, legend_pos="left" , legend_orient="vertical")#繪制圓環圖

pie = Pie("各工作年限所占百分比", title_pos='center')

pie.add('', years_all.index, years_all, radius=[35, 60], label_text_color=None,

is_label_show=True, legend_orient="vertical", legend_pos="67%")

grid= Grid(width=1200)

grid.add(bar, grid_right="67%")

grid.add(pie)

grid.render()

通過下圖可以得出:

- 在各工作年限中, 離職人員較集中于3, 4, 5, 6年, 而6年以上則相對穩定

- 企業中3年人數所占百分比最多, 其次是2年, 主要以年輕人為主

7. 是否發生工作事故與是否離職的關系

from pyecharts importBar

accident_left=pd.crosstab(df.work_accident, df.left)

attr=accident_left.index

bar= Bar("是否發生工作事故與是否離職的關系圖", title_pos='center')

bar.add("離職", attr, accident_left[1], is_stack=True)

bar.add("在職", attr, accident_left[0], is_stack=True, legend_pos="left" , legend_orient="vertical", is_label_show=True)

bar.render()

可以看到少部分出現工作事故, 且其中有較少部分人離職.

8. 5年內是否升職與是否離職的關系

promotion_left =pd.crosstab(df.promotion, df.left)

attr=promotion_left.index

bar= Bar("5年內是否升職與是否離職的關系圖", title_pos='center')

bar.add("離職", attr, promotion_left[1], is_stack=True)

bar.add("在職", attr, promotion_left[0], is_stack=True, legend_pos="left" , legend_orient="vertical", is_label_show=True)

bar.render()

5年內多數人沒有升職, 離職率就相對較高.

9. 崗位與是否離職的關系

#分別計算各崗位離職人員比例和各崗位占總體百分比

department_left_0 = df[df.left == 0].groupby('department')['left'].count()

department_all= df.groupby('department')['left'].count()

department_left0_rate= department_left_0 /department_all

department_left1_rate= 1 -department_left0_rate

attr=department_all.index

bar= Bar("崗位與離職比例的關系圖", title_top='40%')

bar.add("離職", attr, department_left1_rate, is_stack=True)

bar.add("在職", attr, department_left0_rate, is_stack=True, is_datazoom_show=True,

xaxis_interval=0, xaxis_rotate=30, legend_top="45%", legend_pos="80%")#繪制圓環圖

pie = Pie("各個崗位所占百分比", title_pos='left')

pie.add('', department_all.index, department_all,center=[50, 23], radius=[18, 35], label_text_color=None,

is_label_show=True, legend_orient="vertical", legend_pos="80%", legend_top="4%")

grid= Grid(width=1200, height=700)

grid.add(bar, grid_top="50%", grid_bottom="25%")

grid.add(pie)

grid.render()

通過下圖可以看出:

- 銷售崗位所占百分比最多, 達到27.6%, 最少是管理層, 其所占百分比是4.2%

- 令人意外的是hr崗位離職比例最大.

10. 薪資水平和是否離職的關系

from pyecharts importBar#按照薪資水平分別求離職人數和所有人數

salary_left = pd.crosstab(df.salary, df.left).sort_values(0, ascending =False)

attr=salary_left.index

bar= Bar("薪資水平和是否離職的關系圖", title_pos='center')

bar.add("離職", attr, salary_left[1], is_stack=True)

bar.add("在職", attr, salary_left[0], is_stack=True, legend_pos="left" , legend_orient="vertical", is_label_show=True)

bar.render()

薪資分為三個水平: 低等, 中等, 高等. 低等水平離職人數最多, 所占比例也最大, 而高等則最少.

5. 特征工程

1. 離散型數據處理

離散型數據可分為兩種: 一種是定序, 一種是定類.

1) 定序

薪資水平其含有順序意義, 因此將其字符型轉化為數值型

df['salary'] = df.salary.map({"low": 0, "medium": 1, "high": 2})

df.salary.unique()

array([0, 1, 2], dtype=int64)

2) 定類

崗位是定類型變量, 對其進行one-hot編碼, 這里直接利用pandas的get_dummies方法.

df_one_hot = pd.get_dummies(df, prefix="dep")

df_one_hot.shape

(14999, 19)

2. 連續型數據處理

邏輯回歸模型能夠適應連續型變量, 因此可以不用進行離散化處理, 又由于多個特征之間差異差異較大會造成梯度下降算法收斂速度變慢, 故進行歸一化處理

#采用max-min歸一化方法

hours = df_one_hot['hours']

df_one_hot['hours'] = df_one_hot.hours.apply(lambda x: (x-hours.min()) / (hours.max()-hours.min()))

3. 相關系數

兩個變量均是連續型且具有線性關系, 則可以使用皮爾遜相關系數, 否則使用斯皮爾曼相關系數, 這里采用斯皮爾曼相關系數

#計算相關系數

correlation = df_one_hot.corr(method = "spearman")

plt.figure(figsize=(18, 10))#繪制熱力圖

sns.heatmap(correlation, linewidths=0.2, vmax=1, vmin=-1, linecolor='w',fmt='.2f',

annot=True,annot_kws={'size':10},square=True)

6. 邏輯回歸模型

1. 劃分數據集

from sklearn.model_selection importtrain_test_split#劃分訓練集和測試集

X = df_one_hot.drop(['left'], axis=1)

y= df_one_hot['left']

X_train, X_test, y_train, y_test= train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=1)

2. 訓練模型

from sklearn.linear_model importLogisticRegression

LR=LogisticRegression()print(LR.fit(X_train, y_train))print("訓練集準確率:", LR.score(X_train, y_train))print("測試集準確率:", LR.score(X_test, y_test))

LogisticRegression(C=1.0, class_weight=None, dual=False, fit_intercept=True,

intercept_scaling=1, max_iter=100, multi_class='warn',

n_jobs=None, penalty='l2', random_state=None, solver='warn',

tol=0.0001, verbose=0, warm_start=False)

訓練集準確率: 0.7978998249854155

測試集準確率: 0.7966666666666666

參考官方文檔說明, 參數C是正則化項參數的倒數, C的數值越小, 懲罰的力度越大. penalty可選L1, L2正則化項, 默認是L2正則化.

參數solver可選{‘newton-cg’, ‘lbfgs’, ‘liblinear’, ‘sag’, ‘saga’}這5個優化算法:

newton-cg, lbfgs是擬牛頓法, liblinear是坐標軸下降法, sag, saga是隨機梯度下降法, saga可以適用于L1和L2正則化項, 而sag只能用于L2正則化項.

#指定隨機梯度下降優化算法

LR = LogisticRegression(solver='saga')print(LR.fit(X_train, y_train))print("訓練集準確率:", LR.score(X_train, y_train))print("測試集準確率:", LR.score(X_test, y_test))

LogisticRegression(C=1.0, class_weight=None, dual=False, fit_intercept=True,

intercept_scaling=1, max_iter=100, multi_class='warn',

n_jobs=None, penalty='l2', random_state=None, solver='saga',

tol=0.0001, verbose=0, warm_start=False)

訓練集準確率: 0.7980665055421285

測試集準確率: 0.7973333333333333

在選擇隨機梯度下降法后, 訓練集和測試集準確率均略有提升.

3. 調參

#用準確率進行10折交叉驗證選擇合適的參數C

from sklearn.linear_model importLogisticRegressionCV

Cs= 10**np.linspace(-10, 10, 400)

lr_cv= LogisticRegressionCV(Cs=Cs, cv=10, penalty='l2', solver='saga', max_iter=10000, scoring='accuracy')

lr_cv.fit(X_train, y_train)

lr_cv.C_

array([25.52908068])

用該參數進行預測

LR = LogisticRegression(solver='saga', penalty='l2', C=25.52908068)print("訓練集準確率:", LR.score(X_train, y_train))print("測試集準確率:", LR.score(X_test, y_test))

訓練集準確率: 0.7984832069339112

測試集準確率: 0.798

訓練集和測試集準確率均有所提升, 對于二分類問題, 準確率有時不是很好的評估方法, 這時需要用到混淆矩陣

4. 混淆矩陣

from sklearn importmetrics

X_train_pred=LR.predict(X_train)

X_test_pred=LR.predict(X_test)print('訓練集混淆矩陣:')print(metrics.confusion_matrix(y_train, X_train_pred))print('測試集混淆矩陣:')print(metrics.confusion_matrix(y_test, X_test_pred))

訓練集混淆矩陣:

[[8494 647]

[1771 1087]]

測試集混淆矩陣:

[[2112 175]

[ 431 282]]

from sklearn.metrics importclassification_reportprint('訓練集:')print(classification_report(y_train, X_train_pred))print('測試集:')print(classification_report(y_test, X_test_pred))

訓練集:

precision recall f1-score support

0 0.83 0.93 0.88 9141

1 0.63 0.38 0.47 2858

micro avg 0.80 0.80 0.80 11999

macro avg 0.73 0.65 0.67 11999

weighted avg 0.78 0.80 0.78 11999

測試集:

precision recall f1-score support

0 0.83 0.92 0.87 2287

1 0.62 0.40 0.48 713

micro avg 0.80 0.80 0.80 3000

macro avg 0.72 0.66 0.68 3000

weighted avg 0.78 0.80 0.78 3000

在訓練集有0.83的精準率和0.93的召回率, 在測試集上有0.83的精準率和0.92的召回率.

7. 樸素貝葉斯模型

樸素貝葉斯模型是基于特征條件獨立假設和貝葉斯理論.

from sklearn.naive_bayes importGaussianNBfrom sklearn.model_selection importcross_val_score#構建高斯樸素貝葉斯模型

gnb =GaussianNB()

gnb.fit(X_train, y_train)print("訓練集準確率:", gnb.score(X_train, y_train))print("測試集準確率:", gnb.score(X_test, y_test))

X_train_pred=gnb.predict(X_train)

X_test_pred=gnb.predict(X_test)print('訓練集混淆矩陣:')print(metrics.confusion_matrix(y_train, X_train_pred))print('測試集混淆矩陣:')print(metrics.confusion_matrix(y_test, X_test_pred))print('訓練集:')print(classification_report(y_train, X_train_pred))print('測試集:')print(classification_report(y_test, X_test_pred))

訓練集準確率: 0.7440620051670973

測試集準確率: 0.741

訓練集混淆矩陣:

[[6791 2350]

[ 721 2137]]

測試集混淆矩陣:

[[1680 607]

[ 170 543]]

訓練集:

precision recall f1-score support

0 0.90 0.74 0.82 9141

1 0.48 0.75 0.58 2858

micro avg 0.74 0.74 0.74 11999

macro avg 0.69 0.75 0.70 11999

weighted avg 0.80 0.74 0.76 11999

測試集:

precision recall f1-score support

0 0.91 0.73 0.81 2287

1 0.47 0.76 0.58 713

micro avg 0.74 0.74 0.74 3000

macro avg 0.69 0.75 0.70 3000

weighted avg 0.80 0.74 0.76 3000

可以看到其準確率較邏輯回歸低, 但是精準率高于邏輯回歸.

8. ROC曲線

from sklearn importmetricsfrom sklearn.metrics importroc_curve#將邏輯回歸模型和高斯樸素貝葉斯模型預測出的概率均與實際值通過roc_curve比較返回假正率, 真正率, 閾值

lr_fpr, lr_tpr, lr_thresholds = roc_curve(y_test, LR.predict_proba(X_test)[:,1])

gnb_fpr, gnb_tpr, gnb_thresholds= roc_curve(y_test, gnb.predict_proba(X_test)[:,1])#分別計算這兩個模型的auc的值, auc值就是roc曲線下的面積

lr_roc_auc =metrics.auc(lr_fpr, lr_tpr)

gnb_roc_auc=metrics.auc(gnb_fpr, gnb_tpr)

plt.figure(figsize=(8, 5))

plt.plot([0,1], [0, 1],'--', color='r')

plt.plot(lr_fpr, lr_tpr, label='LogisticRegression(area = %0.2f)' %lr_roc_auc)

plt.plot(gnb_fpr, gnb_tpr, label='GaussianNB(area = %0.2f)' %gnb_roc_auc)

plt.xlim([0.0, 1.0])

plt.ylim([0.0, 1.0])

plt.title('ROC')

plt.xlabel('FPR')

plt.ylabel('TPR')

plt.legend()

plt.show()

ROC曲線越靠近左上角說明分類效果越好, 與之對應的auc的值就越大. 對于該數據集來說, 高斯樸素貝葉斯模型略優于邏輯回歸模型

總結

本文從邏輯回歸模型的原理開始介紹, 并通過實際案例對邏輯回歸模型進行應用, 但是結果還不是很好, 一方面是模型表現不是很好(當然, 也僅僅用到了邏輯回歸和樸素貝葉斯) ; 另一方面是特征工程沒有處理好(樸素貝葉斯模型對特征條件獨立假設較敏感), 應當進行特征選擇, 比如主成分分析.

參考資料:

網易云課堂《吳恩達機器學習》

《Python數據分析與挖掘實戰》

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的python归一化 增大差异_Python逻辑回归模型原理及实际案例应用的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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