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【摘要】 排樣問題（Nesting Problem）又稱為下料問題(Cutting and stock problems)或填充問題(Packing Problem)，其目標是在材料切割過程中尋找一個較高的材料利用率。排樣問題屬于經典的NP-Hard問題，其時間復雜度隨著問題規模的增加迅速上升，難以在合理時間內精確求解大規模實例。

算法簡介

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排樣問題（Nesting Problem）又稱為下料問題(Cutting and stock problems)或填充問題(Packing Problem)，其目標是在材料切割過程中尋找一個較高的材料利用率。排樣問題屬于經典的NP-Hard問題，其時間復雜度隨著問題規模的增加迅速上升，難以在合理時間內精確求解大規模實例。相較于矩形排樣問題，異形件排樣問題的突出特點是裁片的邊界輪廓復雜，計算過程中需要復雜的幾何運算，其算法復雜度將進一步上升，是學術界和工業界公認的難以求解的問題。因此在大多數情況下，不規則形狀排樣算法主要是以啟發式算法和智能搜索算法為主。

綜上所述，二維異形件排樣算法涉及到的關鍵技術主要有三個，如圖1所示，分別是高效率的幾何算法、排樣策略和優化算法。

圖1.?排樣算法關鍵技術

NFP求解算法

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二維異形件排樣算法的一個相當重要的方面是計算幾何算法，其主要內容在于計算異形件之間的靠接位置、確定裁片與面料之間的包含關系、判斷是否重疊以及實現二維區域之間的交、并、差等布爾運算。

為尋找一種更簡便高效的靠接和重疊判斷計算方法，研究人員提供了臨界多邊形（No-Fit Polygon，NFP）的概念[1]。臨界多邊形NFP的簡要定義如下：給定兩個多邊形，其中一個固定，另一個多邊形圍繞固定的多邊形作不旋轉的剛體運動，并圍繞固定多邊形滑動，直到回到起點位置，在此過程中在運動多邊形上選取一點作為參考點，則參考點在環繞過程中形成的軌跡就稱為臨界多邊形，如圖2所示。

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圖2.?臨界多邊形概念（圖片來源：參考文獻[2]）

NFP求解還會遇到特殊場景，如圖3所示，圖a由于多邊形A存在凹槽，多邊形B可以在凹槽內部移動，此時將形成空腔NFP；圖b由于多邊形B恰好可以沿著多邊形A凹槽移動，此時NFP將退化成線；圖c多邊形B恰好可以放在多邊形B凹槽內，此時NFP將退化成點。NFP求解算法同時要考慮這些特殊情景。

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圖3.?特殊NFP場景：a.?空腔NFP；b. NFP退化成線；c. NFP退化成點（圖片來源：參考文獻[3]）

由于臨界多邊形的重要性質，NFP目前已成為二維不規則形狀排樣算法的基礎性幾何工具。如何快速準確的計算出NFP是異形件排樣問題的關鍵技術。學界目前的求解算法主要有4種，分別是凸化分割法、移動碰撞法[4]、明科夫斯基矢量和法[5]以及軌跡線法[2]。簡要介紹如下：

（1）凸化分割法。凸化分割法基本思路是將凹多邊形分割為凸多邊形，然后求得凸多邊形之間的NFP，最后將凸多邊形的NFP進行合并得到最終的NFP。凹多邊形凸化分割的算法有多種，例如三角劃分、凹點劃分、條帶分割、角平分線分割等。設多邊形邊數為n，凹點個數為r，目前最少次數分割算法時間復雜度不超過O(n+r2min(r2,n))，?當簡單多邊形的凹點個數達到n/2時，該分割算法的復雜度已達到O(n3)。如果再加上求解凸多邊形的NFP和求解多邊形并集的布爾運算，該方法的時間復雜度將進一步增加。此外，該方法可以得到內部空腔NFP，但是對于NFP退化場景，標準多邊形求并運算無法得到。

（2）移動碰撞法。移動碰撞法的基本步驟如下：如圖4所示，首先根據多邊形A和B當前時刻的靠接狀態，得到B下一步的移動方向，在該移動方向上，計算出A和B之間的最小碰撞距離，從而得到移動距離，根據移動方向和移動距離，將B移動到新的位置，然后重復以上過程，直至繞完一圈，回到初始位置。該算法比較容易實現，但是該算法總的時間復雜度較高，達到(O(m+n)mn)。此外，該算法可以處理空腔NFP和退化NFP等特殊場景。

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圖4.?移動碰撞法計算NFP（圖片來源：參考文獻[2]）

（3）明科夫斯基矢量和法。兩個凸多邊形之間的NFP等價于計算兩者的明科夫斯基矢量和，其算法復雜度為O(m+n)。其基本求解思路如下：如圖5所示，首先多邊形A（固定多邊形）按照逆時針排列，多邊形B（移動多邊形）按照順時針排列。然后，將多邊形A和多邊形B的所有邊矢量置于原點（0,0），接著，對所有邊矢量按與起始矢量的夾角從小到大排序，最后將排序后的邊矢量進行串聯累加，即可得到A和B的臨界多邊形NFPAB。然而，當兩個多邊形中有一個為凹多邊形時，凹邊的遍歷次序將會被打亂，從而不能合成一個臨界多邊形。為解決此問題，研究人員引入了斜率圖的概念來解決此問題[5,6]。然而，該方法實現復雜，時間復雜度也比較高，最壞情況下的時間復雜度為O(m2n2log(mn))。此外，該算法也可以處理空腔NFP和退化NFP等特殊場景。

圖5.?明科夫斯基矢量和法求解凸多邊形NFP（圖片來源：參考文獻[2]）

（4）軌跡線法。軌跡線法的基本原理是：如圖6所示，首先求得多邊形每個頂點相對于另一個多邊形的所有軌跡線，然后從軌跡線集合中得到外圍多邊形和內部順時針環，即為臨界多邊形。該算法從NFP的本身定義出發，算法過程簡單，平均時間復雜度為O(mn)，并且能夠處理內部空腔NFP和退化NFP等特殊情景。

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圖6.?軌跡線法NFP算法原理圖（圖片來源：參考文獻[2]）

總結

NFP是二維異形件排樣算法的基礎性幾何工具，實現不好將嚴重影響排樣算法性能。作者曾采用凸化分解法求解100個多邊形的NFP，由于多邊形平均點數較大（平均82個），單純計算NFP的時間開銷就達到半小時。因此，非常有必要對各種NFP求解算法進行比較分析，選擇一種高效的NFP求解算法。表1總結了4種NFP算法的時間復雜度，以及是否可以處理特殊情景。

文獻[2, 4, 5]是各種NFP求解算法的巔峰之作，建議初學者先從移動碰撞法[4]入手學習（該文實現細節講解清楚，其余文章則較少），然后再考慮實現其他方法。

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表1. 4種NFP求解算法對比

?	時間復雜度	能否處理內部空腔	能否處理退化場景
凸化分解法	>O(m3+n3)	Yes	No
移動碰撞法	O((m+n)mn)	Yes	Yes
明科夫斯基矢量和法	O(m2n2log(mn))	Yes	Yes
軌跡線法	O(mn)	Yes	Yes

??更多有關排版算法的介紹將在后續博客中更新，歡迎大家關注。

參考文獻

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[1] Adamowicz M, Albano A. Nesting two-dimensional shapes in rectangular modules[J]. Computer-Aided Design, 1976, 8(1): 27-33.

[2]?Huyao L, Yuanjun H, Bennell J A. The irregular nesting problem: a new approach for nofit polygon calculation[J]. Journal of the Operational Research Society, 2007, 58(9): 1235-1245.

[3] Bennell J A, Oliveira J F. The geometry of nesting problems: A tutorial[J]. European journal of operational research, 2008, 184(2): 397-415.

[4]?Burke E K, Hellier R S R, Kendall G, et al. Complete and robust no-fit polygon generation for the irregular stock cutting problem[J]. European Journal of Operational Research, 2007, 179(1): 27-49.

[5]?Bennell J A, Song X. A comprehensive and robust procedure for obtaining the nofit polygon using Minkowski sums[J]. Computers & Operations Research, 2008, 35(1): 267-281.

[6] Ghosh P K. A unified computational framework for Minkowski operations[J]. Computers & Graphics, 1993, 17(4): 357-378.

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總結

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