如何理解“線性代數”這四個字？

線性代數 = 線性 + 代數。

線性，是指線性代數這門學科研究的是線性問題。線性是理想化的，但是也是最基礎的。實際工程中如果有非線性的問題，可以通過轉化成線性問題來近似求解。

線性有兩個特性：可加性與比例性。

其中，比例性要求函數必須是過原點的。過原點的意思是，輸入為0時，輸出也為0，這種情況下，稱函數是齊次的；如果輸入為0時，輸出不為0，則稱為非齊次，書中有證明，非齊次不滿足比例性，即不是嚴格線性的。

代數，是指用符號來代替數，研究的對象不是具體的數，而是數之間的關系。衍生出來的研究對象有函數、方程。

函數和方程的區別是什么？

方程，是一種恒等關系。解方程的過程是，根據給定的約束關系，求出滿足約束的解的集合。在圖像上，方程就是坐標系中任意的曲線。方程沒有自變量和因變量的概念。

函數，是方程的一個特例，它特殊在：它嚴格要求自變量到因變量的關系必須是一一映射。它在已知解的集合情況下，研究映射關系，這和方程是相反的。線性代數中的函數類型主要是n元一次函數，因為一次函數才天生具備線性特征。在圖像上，函數是一個x值最多只能對應一個點的曲線。

行列式和矩陣的區別是什么？

行列式是一個數值，行列式是用來求方程組的解的。

矩陣不是一個數值，它是一組映射關系。通過對線性映射關系進行抽象，將與之無關的信息剔除，而得到的獨立概念，這和計算機編程中的抽象極其相似，通過進一步研究，得出了很多矩陣的性質、法則。

關于對數學本質的初步理解

由上可以大致看出，數學研究的過程是，首先對問題中具有相同功能的信息進行抽取，建模（也就是抽象），之后提出相應的概念、創建用來描述相關對象的符號。通過進一步的研究，抽象出的新模型的很多特性會被發掘出來，這種模型可能會成為更新的模型的基礎，長此以往會形成一個體系，進而形成一門學科。

所以，數學學科中會有很多概念和模型，每種概念和模型都是為了解決特定問題而提出的，我們在學習的時候，一定要弄明白模型是為了解決什么問題而提出的（怎么搞明白是一個難題，在灌輸式的教育下，很少有人能搞明白，所以更多的還是需要自己去查更好的資料，去思考）。在此基礎上，我們還可以進一步培養自己的抽象能力，將問題中具有共性的、起關鍵作用的對象獨立出來研究，建立模型，從而弄清楚問題的結構，從而最終解決問題。

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的《线性代数的几何意义》笔记（1）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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