計算幾何的精度問題說到底其實是浮點數的精度問題，但我覺得“計算幾何”比“浮點數”更能吸引眼球，所以選了這個標題。

1.浮點數為啥會有精度問題：

浮點數(以C/C++為準)，一般用的較多的是float, double。

?	占字節數	數值范圍	十進制精度位數
float	4	-3.4e-38～3.4e38	6~7
double	8	-1.7e-308～1.7e308	14~15

如果內存不是很緊張或者精度要求不是很低，一般選用double。14位的精度(是有效數字位，不是小數點后的位數)通常夠用了。注意，問題來了，數據精度位數達到了14位，但有些浮點運算的結果精度并達不到這么高，可能準確的結果只有10~12位左右。那低幾位呢？自然就是不可預料的數字了。這給我們帶來這樣的問題：即使是理論上相同的值，由于是經過不同的運算過程得到的，他們在低幾位有可能(一般來說都是)是不同的。這種現象看似沒太大的影響，卻會一種運算產生致命的影響: ==。恩，就是判斷相等。注意，C/C++中浮點數的==需要完全一樣才能返回true。來看下面這個例子:

#include<stdio.h>

#include<math.h>

int main()

{

???double a = asin(sqrt(2.0) / 2) * 4.0;

???double b = acos(-1.0);

???printf("??????a = %.20lf\n", a);

???printf("??????b = %.20lf\n", b);

???printf(" a - b = %.20lf\n", a - b);

???printf("a == b = %d\n", a == b);

???return 0;

}

輸出：

??????a = 3.14159265358979360000

??????b = 3.14159265358979310000

?a - b = 0.00000000000000044409

a == b = 0

我們解決的辦法是引進eps，來輔助判斷浮點數的相等。

2. eps

???????eps縮寫自epsilon，表示一個小量，但這個小量又要確保遠大于浮點運算結果的不確定量。eps最常見的取值是1e-8左右。引入eps后，我們判斷兩浮點數a、b相等的方式如下:

定義三出口函數如下:?int sgn(double a){return a < -eps ? -1 : a < eps ? 0 : 1;}

則各種判斷大小的運算都應做如下修正:

傳統意義	修正寫法1	修正寫法2
a == b	sgn(a - b) == 0	fabs(a – b) < eps
a != b	sgn(a - b) != 0	fabs(a – b) > eps
a < b	sgn(a - b) < 0	a – b < -eps
a <= b	sgn(a - b) <= 0	a – b < eps
a > b	sgn(a - b) > 0	a – b > eps
a >= b	sgn(a - b) >= 0	a – b > -eps

這樣，我們才能把相差非常近的浮點數判為相等;同時把確實相差較大(差值大于eps)的數判為不相等。

PS:?養成好習慣，盡量不要再對浮點數做==判斷。例如，我的修正寫法2里就沒有出現==。

3. eps帶來的函數越界

如果sqrt(a), asin(a), acos(a)?中的a是你自己算出來并傳進來的，那就得小心了。

如果a本來應該是0的，由于浮點誤差，可能實際是一個絕對值很小的負數(比如1e-12),這樣sqrt(a)應得0的，直接因a不在定義域而出錯。

類似地，如果a本來應該是±1,則asin(a)、acos(a)也有可能出錯。

因此，對于此種函數，必需事先對a進行校正。

4.?輸出陷阱I

這一節和下一節一樣，都是因為題目要求輸出浮點數，導致的問題。而且都和四舍五入有關。

說到四舍五入，就再扯一下相關內容,據我所知有三種常見的方法:

1. printf(“%.3lf”, a);??//保留a的三位小數，按照第四位四舍五入

2. (int)a;??//將a靠進0取整

3. ceil(a); floor(a);???//顧名思義，向上取證、向下取整。需要注意的是，這兩個函數都返回double，而非int

其中第一種很常見于輸出(nonsense…)。

現在考慮一種情況,題目要求輸出保留兩位小數。有個case的正確答案的精確值是0.005,按理應該輸出0.01,但你的結果可能是0.005000000001(恭喜)，也有可能是0.004999999999(悲劇),如果按照printf(“%.2lf”, a)輸出，那你的遭遇將和括號里的字相同。

解決辦法是，如果a為正，則輸出a+eps,?否則輸出a-eps

典型案例: POJ2826

5.?輸出陷阱II

ICPC題目輸出有個不成文的規定(有時也成文)，不要輸出: -0.000

那我們首先要弄清，什么時候按printf(“%.3lf\n”, a)輸出會出現這個結果。

直接給出結果好了：a∈(-0.000499999……, -0.000……1)

所以，如果你發現a落在這個范圍內，請直接輸出0.000。更保險的做法是用sprintf直接判斷輸出結果是不是-0.000再予處理。

典型案例:UVA746

6.?范圍越界

這個嚴格來說不屬于精度范疇了，不過湊數還是可以的。請注意，雖然double可以表示的數的范圍很大，卻不是不窮大，上面說過最大是1e308。所以有些時候你得小心了，比如做連乘的時候，必要的時候要換成對數的和。

典型案例:HDU3558

7.?關于set<T>

有時候我們可能會有這種需求，對浮點數進行?插入、查詢是否插入過?的操作。手寫hash表是一個方法(hash函數一樣要小心設計)，但set不是更方便嗎。但set好像是按==來判重的呀？貌似行不通呢。經觀察,set不是通過==來判斷相等的，是通過<來進行的，具體說來，只要a<b?和?b<a?都不成立，就認為a和b相等，可以發現，

如果將小于定義成:??????bool operator < (const Dat dat)const{return val < dat.val - eps;}就可以解決問題了。?(基本類型不能重載運算符，所以封裝了下)

8.?輸入值波動過大

這種情況不常見，不過可以幫助你更熟悉eps。假如一道題輸入說，給一個浮點數a, 1e-20 < a < 1e20。那你還敢用1e-8做eps么？合理的做法是把eps按照輸入規模縮放到合適大小。

典型案例: HUSTOJ 1361

9.?一些建議

容易產生較大浮點誤差的函數有asin、?acos。歡迎盡量使用atan2。

另外，如果數據明確說明是整數，而且范圍不大的話，使用int或者long long代替double都是極佳選擇，因為就不存在浮點誤差了(盡管我幾乎從來都只用double --!)

轉自https://blog.csdn.net/entalent/article/details/47620341

總結

以上是生活随笔為你收集整理的ACM中关于计算几何（浮点数）的精度问题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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