1符號(hào)和定義先討論一元情形,給定區(qū)間[a,b]的一個(gè)分劃,a=x00,x(xi,xi+k)=0,x[xi,xi+k],i=-k+1,…,n-1(iii)若xj+i=xi+jh,則Ni,k(x)=k(x-xih-k+12)其中k(x)=k+1j=0(-1)jCjk+1(x+k+12-j)k+/k!為以xj=j-k+12(j=0,1,…,k+1)為結(jié)點(diǎn)的k次等距B樣條.Ni,k(x)的其他性質(zhì)參見[1,2,3,4]滿足(3)的k次樣條插值曲線s(x)可唯一地表示為s(x)=n-1i=-kciNi,k(x),不過(guò)這需要求解一個(gè)線性方程組(包括使用最小二乘),雖然可證方程組必然有唯一解,但畢竟過(guò)于麻煩且不直觀,以下我們以3次樣條為例給出基樣條函數(shù)插值法和多結(jié)點(diǎn)基樣條函數(shù)插值法.2基樣條函數(shù)插值法和多結(jié)點(diǎn)基樣條函數(shù)插值法所謂基數(shù)樣條函數(shù)插值,就是尋找那樣的基函數(shù)系統(tǒng){Li(x)},使之滿足Li(j)=1,i=j0,ij,一旦如此的Li(x)得到,則插值函數(shù)就可以直接寫為yiLi(x)的形式,無(wú)需求解線性方程組,在應(yīng)用中它是方便的.設(shè)L0(x)=+-cjj(x),其中j(x)=3(x-j)我們希望求出cj以滿足L0(i)=1,i=00,i0,其中,i為整數(shù).根據(jù)要求,容易得到cj滿足差分方程式:6ci+1+23ci+16ci-1=0i=1,i=00,i0其特征方程為2+4+1=0,二個(gè)特征根為1=2=-2+3,從而cj=j1+j2,我們要求cj0(j+),即cj是衰減的,得cj=j1(j0),若還要求L0(x)為偶函數(shù),則有c-j=cj.利用j=0時(shí)的差分方程可求得=3,于是cj=c-j=3(-2+3)j,(j0)一般地,令Li(x)=+j=-cjj(x-i)=+j=-cj3(x-i-j)此即為要求的基函數(shù)系統(tǒng){Li(x)}.對(duì)結(jié)點(diǎn)距離為h的情形,只需令j(x)=3(x-xjh)對(duì)于第一類邊界條件的插值問(wèn)題可如下求解令s3(x)=n+1i=-1yiLi(x),(x0=axb=xn)(1)其中插值條件s3(xi)=yi(i=1,2,…,n)以及邊界條件(I):s3(x0)=y0,s3(xn)=yn是已知的,將邊界條件代入(1)求出y-1,yn+1即可獲解.其他插值問(wèn)題可類似求解.注1:基函數(shù)系統(tǒng){Li(x)}還有其他的求解方法[5,6].下面我們?cè)賮?lái)介紹多結(jié)點(diǎn)基樣條函數(shù)插值方法,這里的基樣條函數(shù)將有更多的結(jié)點(diǎn),但型值仍給在{xi}ni=0上.設(shè)j/k+12k+1(x)=[2k+1(x+jk+1)+2k+1(x-jk+1)]/2,j=0,1,…,k+1.令q2k+1(x)=k+1j=0jj/k+12k+1(x),求解j(j=0,1,…,k+1)使q2k+1(x)滿足條件,q2k+1(0)=1,q2k+1(l)=0,l=1,2,…,k,k+1,稱q2k+1(x)為插值基函數(shù).易證這樣的解存在唯一.且注意到suppwk+1[-k-1,k+1]及2k+1((k+1))=0易知suppq2k+1[-k-2,k+2]及q2k+1((k+2))=0.當(dāng)m=0時(shí),解得0=1,1=1;當(dāng)m=1時(shí),解得0=10/3,1=-8/3,2=1/3.利用插值基函數(shù),把給定的型值點(diǎn)組(xi,yi)i=0,1,…,n(xi=x0+ih)(等距情形)擴(kuò)充為(xi,yi),i=-1,0,1,…,n,n+1,得到3次樣條插值擬合:s3(x)=n+1j=-1yjq3(x-xjh)961同樣y-1,yn+1需要由邊界條件確定.對(duì)于所討論的幾個(gè)插值問(wèn)題,有如下的誤差估計(jì):定理:若f[a,b],則f(x)

總結(jié)

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